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01复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 1+ii\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}} 对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2006 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
若 a\boldsymbol{a} 与 b−c\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} 都是非零向量，则“a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}”是“a⊥(b−c)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 11，22，33，44，55 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A.
3636个
B.
2424个
C.
1818个
D.
66个

2006 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
平面 α\alpha 的斜线 ABAB 交 α\alpha 于点 BB，过定点 AA 的动直线 ll 与 ABAB 垂直，且交 α\alpha 于点 CC，则动点 CC 的轨迹是（ ）
A.
一条直线
B.
一个圆
C.
一个椭圆
D.
双曲线的一支

2006 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
已知
f(x)={(3a−1)x+4a,x<1,log⁡ax,x⩾1,f(x)=\begin{cases} (3a-1)x+4a, & x<1,\\ \log_{a}x, & x\geqslant1, \end{cases}
是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的减函数，那么 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,13)\left(0,\frac{1}{3}\right)
C.
[17,13)\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right)
D.
[17,1)\left[\frac{1}{7},1\right)

2006 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★★☆☆
在下列四个函数中，满足性质“对于区间 (1,2)(1,2) 上的任意 x1x_1，x2x_2（x1≠x2x_1\neq x_2），∣f(x1)−f(x2)∣<∣x2−x1∣|f(x_1)-f(x_2)|<|x_2-x_1| 恒成立”的只有（ ）
A.
f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}
B.
f(x)=∣x∣f(x)=|x|
C.
f(x)=2xf(x)=2^x
D.
f(x)=x2f(x)=x^2

2006 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
设 f(n)=2+24+27+210+⋯+23n+10f(n)=2+2^{4}+2^{7}+2^{10}+\cdots+2^{3n+10}（n∈Nn\in\mathbf{N}），则 f(n)f(n) 等于（ ）
A.
27(8n−1)\frac{2}{7}(8^n-1)
B.
27(8n+1−1)\frac{2}{7}(8^{n+1}-1)
C.
27(8n+3−1)\frac{2}{7}(8^{n+3}-1)
D.
27(8n+4−1)\frac{2}{7}(8^{n+4}-1)

2006 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 AA，BB，CC 的机动车辆数如图所示，图中 x1x_1，x2x_2，x3x_3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB‾\overline{AB}，BC‾\overline{BC}，CA‾\overline{CA} 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 x1x_1，x2x_2，x3x_3 的大小关系是（ ）
A.
x1>x2>x3x_1>x_2>x_3
B.
x1>x3>x2x_1>x_3>x_2
C.
x2>x3>x1x_2>x_3>x_1
D.
x3>x2>x1x_3>x_2>x_1

2006 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→−1x2+3x+2x2−1\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1} 的值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)7\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^7 的展开式中，x2x^2 的系数为______.（用数字作答）

2006 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
若三点 A(2,2)A(2,2)，B(a,0)B(a,0)，C(0,b)C(0,b)（ab≠0ab\neq0）共线，则 1a+1b\frac{1}{a}+\frac{1}{b} 的值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=5:7:8\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8，则 ∠B\angle B 的大小是______.

2006 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知点 P(x,y)P(x,y) 的坐标满足条件
{x+y⩽4,y⩾x,x⩾1,\begin{cases} x+y\leqslant4,\\ y\geqslant x,\\ x\geqslant1, \end{cases}
点 OO 为坐标原点，那么 ∣PO∣|PO| 的最小值等于______，最大值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 三点在球心为 OO，半径为 RR 的球面上，AC⊥BCAC\perp BC，且 AB=RAB=R. 那么 AA，BB 两点的球面距离为______，球心到平面 ABCABC 的距离为______.

2006 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=1−2sin⁡(2x−π4)cos⁡xf(x)=\frac{1-\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域； (2) 设 α\alpha 是第四象限的角，且 tan⁡α=−43\tan\alpha=-\frac{4}{3}，求 f(α)f(\alpha) 的值.

2006 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cxf(x)=ax^3+bx^2+cx 在点 x0x_0 处取得极大值 55，其导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的图象经过点 (1,0)(1,0)，(2,0)(2,0)，如图所示，求：
(1) 求 x0x_0 的值； (2) 求 aa，bb，cc 的值.

2006 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，AB⊥ACAB\perp AC，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，且 PA=ABPA=AB，点 EE 是 PDPD 的中点.
(1) 求证：AC⊥PBAC\perp PB； (2) 求证：PB∥PB\parallel 平面 AECAEC； (3) 求二面角 E−AC−BE-AC-B 的大小.

2006 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 aa，bb，cc，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1) 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； (2) 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

2006 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知点 M(−2,0)M(-2,0)，N(2,0)N(2,0)，动点 PP 满足条件 ∣PM∣−∣PN∣=22\left|PM\right|-\left|PN\right|=2\sqrt{2}. 记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 若 AA，BB 是 WW 上的不同两点，OO 是坐标原点，求 OA→⋅OB→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} 的最小值.

2006 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，若 a1a_1，a2a_2 是正整数，且 an=∣an−1−an−2∣a_n=\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|，n=3n=3，44，55，⋯\cdots，则称 {an}\{a_n\} 为“绝对差数列”.
(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； (2) 若“绝对差数列” {an}\{a_n\} 中，a20=3a_{20}=3，a21=0a_{21}=0，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=an+an+1+an+2b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，分别判断当 n→∞n\to\infty 时，ana_n 与 bnb_n 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； (3) 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

2006 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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