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01函数与初等函数★★☆☆☆
(1) 叙述函数的定义. (2) 求函数 y=1−12−3xy=1-\dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} 的定义域. (3) 计算：[1−(0.5)−2]÷(−278)13\left[1-\left(0.5\right)^{-2}\right]\div\left(-\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}. (4) 计算：log⁡42\log_{4}2. (5) 分解因式：x2y−2y3x^2y-2y^3. (6) 计算：sin⁡4π3⋅cos⁡25π6⋅tan⁡(−3π4)\sin\dfrac{4\pi}{3}\cdot\cos\dfrac{25\pi}{6}\cdot\tan\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right).

1977 · 河北 · 第 1 题 · 解答题

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02解析几何★★☆☆☆
证明：如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CBCB 是圆 OO 的切线，切点为 BB，OCOC 平行于弦 ADAD，求证：DCDC 是圆 OO 的切线.

1977 · 河北 · 第 2 题 · 解答题

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03三角函数★★☆☆☆
证明：sin⁡2α+11+cos⁡2α+sin⁡2α=12tan⁡α+12\dfrac{\sin2\alpha+1}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}=\dfrac{1}{2}\tan\alpha+\dfrac{1}{2}.

1977 · 河北 · 第 3 题 · 解答题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 2lg⁡x+lg⁡2=lg⁡(x+6)2\lg x+\lg2=\lg\left(x+6\right)，求 xx.

1977 · 河北 · 第 4 题 · 解答题

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05函数与初等函数★★★☆☆
某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为 135∘135^\circ 的两面墙，另外两边是总长为 30 米30\text{ 米} 的篱笆（如图，ADAD 和 DCDC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

1977 · 河北 · 第 5 题 · 解答题

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06立体几何初步★★★☆☆
工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为 208 立方米208\text{ 立方米}，高为 4 分米4\text{ 分米}，上口边长与下底面边长的比为 5:25:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量）

1977 · 河北 · 第 6 题 · 解答题

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07解析几何★★★☆☆
如图，MNMN 为圆的直径，PP，CC 为圆上两点，连 PMPM，PNPN，过 CC 作 MNMN 的垂线与 MNMN，MPMP 和 NPNP 的延长线依次相交于 AA，BB，DD，求证：AC2=AB⋅ADAC^2=AB\cdot AD.

1977 · 河北 · 第 7 题 · 解答题

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08解析几何★★☆☆☆
已知菱形的一对内角各为 60∘60^\circ，边长为 44，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形 60∘60^\circ 角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.

1977 · 河北 · 第 8 题（乙） · 解答题

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08解析几何★★☆☆☆
已知椭圆短轴长为 22，中心与抛物线 y2=4xy^2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长.

1977 · 河北 · 第 8 题（甲） · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
将函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x 展开为 xx 的幂级数，并求出收敛区间. （e=2.718\mathrm{e}=2.718 为自然对数的底数）

1977 · 河北 · 第 9 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
利用定积分计算椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）所围成的面积.

1977 · 河北 · 第 10 题 · 解答题

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