证明：$\dfrac{\sin2\alpha+1}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}=\dfrac{1}{2}\tan\alpha+\dfrac{1}{2}$.

某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为 $135^\circ$ 的两面墙，另外两边是总长为 $30\text{ 米}$ 的篱笆（如图，$AD$ 和 $DC$ 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？