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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 A={x∣x2−x=0}A = \{x \mid x^2 - x = 0\}，B={x∣x2+x=0}B = \{x \mid x^2 + x = 0\}，则 A∩BA \cap B 等于（ ）
A.
00
B.
{0}\{0\}
C.
∅\varnothing
D.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
若 SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 Sn=n2S_n = n^2，则 {an}\{a_n\} 是（ ）
A.
等比数列，但不是等差数列
B.
等差数列，但不是等比数列
C.
等差数列，而且也是等比数列
D.
既非等比数列又非等差数列

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
过点 A(1,−1)A(1,-1)，B(−1,1)B(-1,1) 且圆心在直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 上的圆的方程是（ ）
A.
(x−3)2+(y+1)2=4(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4
B.
(x+3)2+(y−1)2=4(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4
C.
(x−1)2+(y−1)2=4(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4
D.
(x+1)2+(y+1)2=4(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若定义在区间 (−1,0)(-1,0) 内的函数 f(x)=log⁡2a(x+1)f(x)=\log_{2a}(x+1) 满足 f(x)>0f(x)>0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
D.
(0,+∞)(0, +\infty)

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05平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(3,2)\boldsymbol{a}=(3,2)，b=(0,−1)\boldsymbol{b}=(0,-1)，则向量 2b−a2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} 的坐标是（ ）
A.
(3,−4)(3,-4)
B.
(−3,4)(-3,4)
C.
(3,4)(3,4)
D.
(−3,−4)(-3,-4)

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
设 AA，BB 是 xx 轴上的两点，点 PP 的横坐标为 22 且 ∣PA∣=∣PB∣\left|PA\right|=\left|PB\right|. 若直线 PAPA 的方程为 x−y+1=0x-y+1=0，则直线 PBPB 的方程是（ ）
A.
x+y−5=0x + y - 5 = 0
B.
2x−y−1=02x - y - 1 = 0
C.
2y−x−4=02y - x - 4 = 0
D.
2x+y−7=02x + y - 7 = 0

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07三角函数★★☆☆☆
若 0<α<β<π40 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{4}，sin⁡α+cos⁡α=a\sin \alpha + \cos \alpha = a，sin⁡β+cos⁡β=b\sin \beta + \cos \beta = b，则（ ）
A.
a<ba < b
B.
a>ba > b
C.
ab<1ab < 1
D.
ab>2ab > 2

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08解析几何★★☆☆☆
若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1,0)F_1(1,0)，F2(3,0)F_2(3,0)，则其离心率为（ ）
A.
34\dfrac{3}{4}
B.
23\dfrac{2}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
14\dfrac{1}{4}

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得 33 分；平一场，得 11 分；负一场，得 00 分. 一球队打完 1515 场，积 3333 分. 若不考虑顺序，该队胜，负，平的可能情况共有（ ）
A.
33 种
B.
44 种
C.
55 种
D.
66 种

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10解析几何★★★☆☆
设坐标原点为 OO，抛物线 y2=2xy^2 = 2x 与过焦点的直线交于 AA，BB 两点，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =（ ）
A.
34\dfrac{3}{4}
B.
−34-\dfrac{3}{4}
C.
33
D.
−3-3

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11立体几何初步★★★☆☆
一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：
① 单向倾斜； ② 双向倾斜； ③ 四向倾斜.
记三种盖法屋顶面积分别为 P1P_1，P2P_2，P3P_3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α\alpha，则（ ）
A.
P3>P2>P1P_3 > P_2 > P_1
B.
P3>P2=P1P_3 > P_2 = P_1
C.
P3=P2>P1P_3 = P_2 > P_1
D.
P3=P2=P1P_3 = P_2 = P_1

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 AA 向结点 BB 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递. 则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.
2626
B.
2424
C.
2020
D.
1919

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13三角函数★☆☆☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=sin⁡x+3cos⁡xf(x)=\sin x + \sqrt{3}\cos x 的最大值是______.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的 20482048 件产品中抽取一个容量为 128128 的样本进行质量检查. 若一车间这一天生产 256256 件产品，则从该车间抽取的产品件数为______.

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15立体几何初步★★☆☆☆
在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是______.

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，SnS_n 是它的前 nn 项和. 若 ∣Sn∣|S_n| 是等差数列，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.

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17数列★★★☆☆
已知等差数列前三项为 aa，44，3a3a，前 nn 项的和为 SnS_n，Sk=2550S_k = 2550.
(1) 求 aa 及 kk 的值； (2) 求 lim⁡n→∞(1S1+1S2+⋯+1Sn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots+\frac{1}{S_n}\right).

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18不等式★★★☆☆
设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm24840\mathrm{~cm}^2，画面的宽与高的比为 λ\lambda（λ<1\lambda < 1），画面的上，下各有 8 cm8\mathrm{~cm} 空白，左，右各有 5 cm5\mathrm{~cm} 空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
\begin{solution} 由宽高比及画面面积可知 0<λ<10<\lambda<1. 设画面高为 x cmx\mathrm{~cm}，则宽为 λx cm\lambda x\mathrm{~cm}，且 λx2=4840\lambda x^2=4840. 纸张面积 S=(x+16)(λx+10)=4840+(16λ+10)x+160S=(x+16)(\lambda x+10)=4840+(16\lambda+10)x+160. 由 x=2210λx=22\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda}}，得
S=5000+4410(8λ+5λ)S=5000+44\sqrt{10}\left(8\sqrt{\lambda}+\frac5{\sqrt{\lambda}}\right)
由均值不等式， 8λ+5λ≥2408\sqrt{\lambda}+\dfrac5{\sqrt{\lambda}}\geq2\sqrt{40}，等号成立当且仅当 8λ=5λ8\sqrt{\lambda}=\dfrac5{\sqrt{\lambda}}. 因此 SS 在 λ=58\lambda=\frac{5}{8} 时取最小值. 此时 x=88x=88，画面宽为 λx=55\lambda x=55，故画面高、宽分别为 88 cm88\mathrm{~cm}、55 cm55\mathrm{~cm}. \end{solution}

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19概率与统计★★☆☆☆
如图，用 AA，BB，CC 三类不同的元件连接成两个系统 N1N_1，N2N_2. 当元件 AA，BB，CC 都正常工作时，系统 N1N_1 正常工作；当元件 AA 正常工作且元件 BB，CC 至少有一个正常工作时，系统 N2N_2 正常工作. 已知元件 AA，BB，CC 正常工作的概率依次为 0.800.80，0.900.90，0.900.90.
(1) 求系统 N1N_1 正常工作的概率 P1P_1； (2) 求系统 N2N_2 正常工作的概率 P2P_2.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，以正四棱锥 V−ABCDV-ABCD 底面中心 OO 为坐标原点建立空间直角坐标系 O−xyzO-xyz，其中 Ox∥BCOx \parallel BC，Oy∥ABOy \parallel AB. EE 为 VCVC 中点，正四棱锥底面边长为 2a2a，高为 h0h_0.
(1) 求 cos⁡⟨BE→,DE→⟩\cos\left\langle \overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE} \right\rangle； (2) 记面 BCVBCV 为 α\alpha，面 DCVDCV 为 β\beta，若 ∠BED\angle BED 是二面角 α−VC−β\alpha-VC-\beta 的平面角，求 cos⁡∠BED\cos\angle BED 的值.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S−ABCDS-ABCD 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，SA⊥SA \perp 面 ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA = AB = BC = 1，AD=12AD = \frac{1}{2}.
(1) 求四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的体积； (2) 求面 SCDSCD 与面 SBASBA 所成的二面角的正切值.

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22导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3−3ax2+2bxf(x) = x^3 - 3ax^2 + 2bx 在点 x=1x = 1 处有极小值 −1-1. 试确定 aa，bb 的值，并求出 f(x)f(x) 的单调区间.

2001 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，曲线 x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1x^2\sin\theta + y^2\cos\theta = 1 和 x2cos⁡θ−y2sin⁡θ=1x^2\cos\theta - y^2\sin\theta = 1 有 44 个不同的交点.
(1) 求 θ\theta 的取值范围； (2) 证明这 44 个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

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