设计一幅宣传画，要求画面面积为 $4840\mathrm{~cm}^2$，画面的宽与高的比为 $\lambda$（$\lambda < 1$），画面的上，下各有 $8\mathrm{~cm}$ 空白，左，右各有 $5\mathrm{~cm}$ 空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

\begin{solution} 由宽高比及画面面积可知 $0<\lambda<1$. 设画面高为 $x\mathrm{~cm}$，则宽为 $\lambda x\mathrm{~cm}$，且 $\lambda x^2=4840$. 纸张面积 $S=(x+16)(\lambda x+10)=4840+(16\lambda+10)x+160$. 由 $x=22\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda}}$，得 由均值不等式， $8\sqrt{\lambda}+\dfrac5{\sqrt{\lambda}}\geq2\sqrt{40}$，等号成立当且仅当 $8\sqrt{\lambda}=\dfrac5{\sqrt{\lambda}}$. 因此 $S$ 在 $\lambda=\frac{5}{8}$ 时取最小值. 此时 $x=88$，画面宽为 $\lambda x=55$，故画面高、宽分别为 $88\mathrm{~cm}$、$55\mathrm{~cm}$. \end{solution}