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01解析几何★☆☆☆☆
圆 (x−1)2+y2=1\left(x - 1\right)^2 + y^2 = 1 的圆心到直线 y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3} x 的距离是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
11
D.
3\sqrt{3}

2002 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
复数 (12+32i)3\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)^3 的值是（ ）
A.
−i-\mathrm{i}
B.
i\mathrm{i}
C.
−1-1
D.
11

2002 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
不等式 (1+x)(1−∣x∣)>0\left(1 + x\right)\left(1 - |x|\right) > 0 的解集是（ ）
A.
{x∣0⩽x<1}\{x\mid 0\leqslant x < 1\}
B.
{x∣x<0 且 x≠−1}\{x\mid x < 0 \text{ 且 } x\neq -1\}
C.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1 < x < 1\}
D.
{x∣x<1 且 x≠−1}\{x\mid x < 1 \text{ 且 } x\neq -1\}

2002 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
在 (0,2π)(0,2\pi) 内，使 sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x 成立的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(π4,π2)∪(π,5π4)\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)
B.
(π4,π)\left(\frac{\pi}{4},\pi\right)
C.
(π4,5π4)\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)
D.
(π4,π)∪(5π4,3π2)\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) \cup \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

2002 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 M={x∣x=k2+14,k∈Z}M = \left\{x \mid x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}, k \in \mathbf{Z}\right\}，N={x∣x=k4+12,k∈Z}N = \left\{x \mid x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2}, k \in \mathbf{Z}\right\}，则（ ）
A.
M=NM = N
B.
M⊆NM \subseteq N
C.
M⊇NM \supseteq N
D.
M∩N=∅M \cap N = \varnothing

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06解析几何★★☆☆☆
点 P(1,0)P(1,0) 到曲线
{x=t2,y=2t,\begin{cases} x = t^2,\\ y = 2t, \end{cases}
（其中参数 t∈Rt \in \mathbf{R}）上的点的最短距离为（ ）
A.
00
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2002 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
45\frac{4}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
−35-\frac{3}{5}

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08立体几何初步★★★☆☆
正六棱柱 ABCDEF−A1B1C1D1E1F1ABCDEF - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1} 的底面边长为 11，侧棱长为 2\sqrt{2}，则这个棱柱侧面对角线 E1DE_{1}D 与 BC1BC_{1} 所成的角是（ ）
A.
90∘90^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
30∘30^{\circ}

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x2+bx+cy = x^{2} + bx + c（x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)）是单调函数的充要条件是（ ）
A.
b⩾0b \geqslant 0
B.
b⩽0b \leqslant 0
C.
b>0b > 0
D.
b<0b < 0

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10函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1−1x−1y = 1 - \frac{1}{x - 1} 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
从正方体的 66 个面中选取 33 个面，其中有 22 个面不相邻的选法共有（ ）
A.
88 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2020 种

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12函数与初等函数★★☆☆☆
据 2002 年2002\text{ 年} 3 月3\text{ 月} 5 日5\text{ 日}九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年2001\text{ 年}国内生产总值达到 95933 亿元95933\text{ 亿元}，比上年增长 7.3%7.3\%”，如果“十·五”期间（2001 年2001\text{ 年}－2005 年2005\text{ 年}）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A.
115000 亿元115000\text{ 亿元}
B.
120000 亿元120000\text{ 亿元}
C.
127000 亿元127000\text{ 亿元}
D.
135000 亿元135000\text{ 亿元}

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=axy = a^x 在 [0,1][0,1] 上的最大值与最小值之和为 3，则 a=a =______.

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14解析几何★★☆☆☆
椭圆 5x2+ky2=55x^{2} + ky^{2} = 5 的一个焦点是 (0,2)(0,2)，那么 k=k =______.

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1)(x−2)7(x^{2} + 1)(x - 2)^{7} 展开式中 x3x^{3} 的系数是______.

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16函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=x21+x2f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}，那么 f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=f(1)+f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)+f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)+f(4)+f\left(\frac{1}{4}\right)=______.

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17三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡22α+sin⁡2αcos⁡α−cos⁡2α=1\sin^2 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha = 1（α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)），求 sin⁡α\sin \alpha，tan⁡α\tan \alpha 的值.

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18立体几何初步★★★★☆
正方形 ABCDABCD，ABEFABEF 的边长都是 11，而且平面 ABCDABCD，ABEFABEF 互相垂直. 点 MM 在 ACAC 上移动，点 NN 在 BFBF 上移动，若 CM=BN=aCM = BN = a（0<a<20 < a < \sqrt{2}）.
(1) 求 MNMN 的长； (2) aa 为何值时，MNMN 的长最小； (3) 当 MNMN 的长最小时，求面 MNAMNA 与面 MNBMNB 所成二面角 α\alpha 的大小.

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19解析几何★★★★☆
设点 PP 到点 (−1,0)(-1,0)，(1,0)(1,0) 距离之差为 2m2m，到 xx 轴、yy 轴的距离之比为 2，求 mm 的取值范围.

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20数列★★★★☆
某城市 2001 年2001\text{ 年}末汽车保有量为 30 万辆30\text{ 万辆}，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%6\%，并且每年新增汽车数量相同. 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆60\text{ 万辆}，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

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21函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实数，函数 f(x)=x2+∣x−a∣+1f(x) = x^{2} + |x - a| + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的奇偶性； (2) 求 f(x)f(x) 的最小值.

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22数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足： an+1=an2−nan+1a_{n + 1} = a_n^2 - n a_n + 1（n=1n = 1，22，33，…\dots）.
(1) 当 a1=2a_{1} = 2 时，求 a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 并由此猜测 ana_{n} 的一个通项公式； (2) 当 a1⩾3a_{1} \geqslant 3 时，证明对所有的 n⩾1n \geqslant 1，有
① an⩾n+2a_{n}\geqslant n + 2； ② 11+a1+11+a2+11+a3+⋯+11+an⩽12\frac{1}{1 + a_1} +\frac{1}{1 + a_2} +\frac{1}{1 + a_3} +\dots +\frac{1}{1 + a_n}\leqslant \frac{1}{2}.

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