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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 S={x∣2x+1>0}S = \{x \mid 2x + 1 > 0\}，T={x∣3x−5<0}T = \{x \mid 3x - 5 < 0\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
∅\varnothing
B.
{x∣x<−12}\left\{x\mid x < -\frac{1}{2}\right\}
C.
{x∣x>53}\left\{x\mid x > \frac{5}{3}\right\}
D.
{x∣−12<x<53}\left\{x\mid -\frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}\right\}

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
α\alpha 是第四象限角，cos⁡α=1213\cos \alpha = \frac{12}{13}，则 sin⁡α=\sin \alpha =（ ）
A.
513\frac{5}{13}
B.
−513-\frac{5}{13}
C.
512\frac{5}{12}
D.
−512-\frac{5}{12}

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(−5,6)\boldsymbol{a} = (-5, 6)，b=(6,5)\boldsymbol{b} = (6, 5)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b}（ ）
A.
垂直
B.
不垂直也不平行
C.
平行且同向
D.
平行且反向

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线的离心率为 22，焦点是 (−4,0)(-4, 0)，(4,0)(4, 0)，则双曲线方程为（ ）
A.
x24−y212=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1
B.
x212−y24=1\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{4} = 1
C.
x210−y26=1\frac{x^2}{10} - \frac{y^2}{6} = 1
D.
x26−y210=1\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{10} = 1

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙，丙 3 位3\text{ 位}同学选修课程. 从 4 门4\text{ 门}课程中，甲选修 2 门2\text{ 门}，乙，丙各选修 3 门3\text{ 门}，则不同的选修方案共有（ ）
A.
36 种36\text{ 种}
B.
48 种48\text{ 种}
C.
96 种96\text{ 种}
D.
192 种192\text{ 种}

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★☆☆☆☆
下面给出的四个点中，位于
{x+y−1<0,x−y+1>0\begin{cases} x + y - 1 < 0,\\ x - y + 1 > 0 \end{cases}
表示的平面区域内的点是（ ）
A.
(0,2)(0,2)
B.
(−2,0)(-2,0)
C.
(0,−2)(0, -2)
D.
(2,0)(2,0)

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图，正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=2ABAA_{1} = 2AB，则异面直线 A1BA_{1}B 与 AD1AD_{1} 所成角的余弦值为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

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08指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 a>1a > 1，函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x 在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 12\frac{1}{2}，则 a=a =（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
222\sqrt{2}
D.
44

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
f(x)f(x)，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x)，则“f(x)f(x)，g(x)g(x) 均为偶函数”是“h(x)h(x) 为偶函数”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
既不充分也不必要的条件

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2xy = 2\cos^2 x 的一个单调增区间是（ ）
A.
(−π4,π4)\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)
B.
(0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
C.
(π4,3π4)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)
D.
(π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=13x3+xy = \frac{1}{3}x^{3} + x 在点 (1,43)\left(1, \frac{4}{3}\right) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A.
19\frac{1}{9}
B.
29\frac{2}{9}
C.
13\frac{1}{3}
D.
23\frac{2}{3}

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12解析几何★★☆☆☆
抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点为 FF，准线为 ll，经过 FF 且斜率为 3\sqrt{3} 的直线与抛物线在 xx 轴上方的部分相交于点 AA，AK⊥lAK \perp l，垂足为 KK，且 △AKF\triangle AKF 的面积是（ ）
A.
44
B.
333\sqrt{3}
C.
434\sqrt{3}
D.
88

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13概率与统计★☆☆☆☆
从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 20 袋20\text{ 袋}，测得各袋的质量分别为（单位：g\mathrm{g}）：
492492，496496，494494，495495，498498，497497，501501，502502，504504，496496，497497，503503，506506，508508，507507，492492，496496，500500，501501，499499.
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5 g∼501.5 g497.5\mathrm{~g}\sim 501.5\mathrm{~g} 之间的概率约为______.

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14指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与函数 y=log⁡3xy = \log_{3} x（x>0x > 0）的图象关于直线 y=xy = x 对称，则 f(x)=f(x) =______.

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15立体几何初步★★★☆☆
正四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2\sqrt{2}，点 SS，AA，BB，CC，DD 都在同一个球面上，则该球的体积为______.

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16数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}，已知 S1S_{1}，2S22S_{2}，3S33S_{3} 成等差数列，则 {an}\{a_{n}\} 的公比为______.

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17三角函数★★☆☆☆
设锐角三角形 ABCABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=2bsin⁡Aa = 2b\sin A.
(1) 求 BB 的大小； (2) 若 a=33a = 3\sqrt{3}，c=5c = 5，求 bb.

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18概率与统计★★★☆☆
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买. 根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.60.6. 经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元200\text{ 元}；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元250\text{ 元}.
(1) 求 3 位3\text{ 位}购买该商品的顾客中至少有 1 位1\text{ 位}采用一次性付款的概率； (2) 求 3 位3\text{ 位}顾客每人购买 1 件1\text{ 件}该商品，商场获得利润不超过 650 元650\text{ 元}的概率.

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19立体几何初步★★★★☆
四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，侧面 SBC⊥SBC \perp 底面 ABCDABCD. 已知 ∠ABC=45∘\angle ABC = 45^{\circ}，AB=2AB = 2，BC=22BC = 2\sqrt{2}，SA=SB=3SA = SB = \sqrt{3}.
(1) 证明：SA⊥BCSA \perp BC； (2) 求直线 SDSD 与平面 SABSAB 所成角的大小.

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8cf(x) = 2x^{3} + 3ax^{2} + 3bx + 8c 在 x=1x = 1 及 x=2x = 2 时取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若对于任意的 x∈[0,3]x \in [0,3]，都有 f(x)<c2f(x) < c^{2} 成立，求 cc 的取值范围.

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21数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，{bn}\{b_{n}\} 是各项都为正数的等比数列，且 a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，a3+b5=21a_{3} + b_{5} = 21，a5+b3=13a_{5} + b_{3} = 13.
(1) 求 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {anbn}\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知椭圆 x23+y22=1\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线交椭圆于 BB，DD 两点，过 F2F_2 的直线交椭圆于 AA，CC 两点，且 AC⊥BDAC \perp BD，垂足为 PP.
(1) 设 PP 点的坐标为 (x0,y0)(x_0, y_0). 证明：x023+y022<1\frac{x_0^{2}}{3} + \frac{y_0^{2}}{2} < 1； (2) 求四边形 ABCDABCD 的面积的最小值.

2007 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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