已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的连续函数，如果 $f(x)$ 与 $g(x)$ 仅当 $x = 0$ 时的函数值为 $0$，且 $f(x) \geqslant g(x)$，那么下列情形不可能出现的是（ ）

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C = \frac{q^{3}}{3} - 3q^{2} + 20q + 10$（$q > 0$）. 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系如下表所示：

设 $L_1$，$L_2$，$L_3$ 分别表示市场情形好，中，差时的利润，随机变量 $\xi_q$ 表示当产量 $q$ 而市场前景无法确定时的利润.

(1) 分别求利润 $L_1$，$L_2$，$L_3$ 与产量 $q$ 的函数关系式. (2) 当产量 $q$ 确定时，求期望 $E(\xi_q)$. (3) 试问产量 $q$ 取何值时，$E(\xi_q)$ 取得最大值.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2t(\mathrm{e}^{x} + x) + x^{2} + 2t^{2} + 1$，$g(x) = \frac{1}{2} f'(x)$.

(1) 证明：当 $t < 2\sqrt{2}$ 时，$g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数. (2) 对于给定的闭区间 $[a, b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t > k$ 时，$g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数. (3) 证明：$f(x) \geqslant \frac{3}{2}$.