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03
解析几何
★★☆☆☆
过坐标原点且与圆
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
+
5
2
=
0
x^{2} + y^{2} - 4x + 2y + \frac{5}{2} = 0
x
2
+
y
2
−
4
x
+
2
y
+
2
5
=
0
相切的直线的方程为（ ）
A.
y
=
−
3
x
y = -3x
y
=
−
3
x
或
y
=
1
3
x
y = \frac{1}{3} x
y
=
3
1
x
B.
y
=
3
x
y = 3x
y
=
3
x
或
y
=
−
1
3
x
y = -\frac{1}{3} x
y
=
−
3
1
x
C.
y
=
−
3
x
y = -3x
y
=
−
3
x
或
y
=
−
1
3
x
y = -\frac{1}{3} x
y
=
−
3
1
x
D.
y
=
3
x
y = 3x
y
=
3
x
或
y
=
1
3
x
y = \frac{1}{3} x
y
=
3
1
x
2006 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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16
不等式
★★★☆☆
已知变量
x
x
x
，
y
y
y
满足约束条件
1
⩽
x
+
y
⩽
4
1 \leqslant x + y \leqslant 4
1
⩽
x
+
y
⩽
4
，
−
2
⩽
x
−
y
⩽
2
-2 \leqslant x - y \leqslant 2
−
2
⩽
x
−
y
⩽
2
. 若目标函数
z
=
a
x
+
y
z = ax + y
z
=
a
x
+
y
（其中
a
>
0
a > 0
a
>
0
）仅在点
(
3
,
1
)
(3,1)
(
3
,
1
)
处取得最大值，则
a
a
a
的取值范围为______.
2006 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题
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22
解析几何
★★★★★
已知一列椭圆
C
n
:
x
2
+
y
2
b
n
2
=
1
C_{n}: x^{2} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1
C
n
:
x
2
+
b
n
2
y
2
=
1
，
0
<
b
n
<
1
0 < b_{n} < 1
0
<
b
n
<
1
，
n
=
1
n=1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
. 若椭圆
C
n
C_{n}
C
n
上有一点
P
n
P_{n}
P
n
，使
P
n
P_{n}
P
n
到右准线
l
n
l_{n}
l
n
的距离
d
n
d_{n}
d
n
是
∣
P
n
F
n
∣
|P_{n}F_{n}|
∣
P
n
F
n
∣
与
∣
P
n
G
n
∣
|P_{n}G_{n}|
∣
P
n
G
n
∣
的等差中项，其中
F
n
F_{n}
F
n
，
G
n
G_{n}
G
n
分别是
C
n
C_{n}
C
n
的左、右焦点.
(1) 试证：
b
n
⩽
3
2
b_{n} \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}
b
n
⩽
2
3
（
n
⩾
1
n \geqslant 1
n
⩾
1
）； (2) 取
b
n
=
2
n
+
3
n
+
2
b_{n} = \frac{\sqrt{2n + 3}}{n + 2}
b
n
=
n
+
2
2
n
+
3
，并用
S
n
S_{n}
S
n
表示
△
P
n
F
n
G
n
\triangle P_{n}F_{n}G_{n}
△
P
n
F
n
G
n
的面积. 试证：
S
1
<
S
2
S_{1} < S_{2}
S
1
<
S
2
且
S
n
>
S
n
+
1
S_{n} > S_{n + 1}
S
n
>
S
n
+
1
（
n
⩾
3
n \geqslant 3
n
⩾
3
）.
2006 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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