已知函数 $f(x) = (x^{2} + bx + c)\mathrm{e}^{x}$，其中 $b$，$c \in \mathbf{R}$ 为常数.

(1) 若 $b^{2} > 4(c - 1)$，讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $b^{2} \leqslant 4(c - 1)$，且 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x) - c}{x} = 4$，试证：$-6 \leqslant b \leqslant 2$.

已知一列椭圆 $C_{n}: x^{2} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1$，$0 < b_{n} < 1$，$n=1$，$2$，$\cdots$. 若椭圆 $C_{n}$ 上有一点 $P_{n}$，使 $P_{n}$ 到右准线 $l_{n}$ 的距离 $d_{n}$ 是 $|P_{n}F_{n}|$ 与 $|P_{n}G_{n}|$ 的等差中项，其中 $F_{n}$，$G_{n}$ 分别是 $C_{n}$ 的左、右焦点.

(1) 试证：$b_{n} \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$（$n \geqslant 1$）； (2) 取 $b_{n} = \frac{\sqrt{2n + 3}}{n + 2}$，并用 $S_{n}$ 表示 $\triangle P_{n}F_{n}G_{n}$ 的面积. 试证：$S_{1} < S_{2}$ 且 $S_{n} > S_{n + 1}$（$n \geqslant 3$）.