已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的数列，满足 $a_{1} = 0$，$a_{2} = 3$，$a_{n+1}a_{n} = (a_{n-1} + 2)(a_{n-2} + 2)$，$n = 3$，$4$，$5$，$\cdots$.

(1) 求 $a_{3}$； (2) 证明 $a_{n} = a_{n - 2} + 2$，$n = 3$，$4$，$5$，$\cdots$； (3) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$.