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01函数与初等函数★★☆☆☆
不用除法证明 (2+x)2n−1+x2n−1+x+1\left(2+x\right)^{2n-1}+x^{2n-1}+x+1 能被 x+1x+1 整除（nn 为正整数）.

1958 · 湖南 · 第 1 题 · 解答题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
不解方程 6x2−x−2=06x^{2}-x-2=0，求作一个二次方程，使它的根是原方程的根的倒数.

1958 · 湖南 · 第 2 题 · 解答题

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03三角函数★☆☆☆☆
求证 sin⁡75∘=14(6+2)\sin75^{\circ}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right).

1958 · 湖南 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★★☆☆
证明：设三角形的三个角成等差数列，最大角与最小角相差 30∘30^{\circ}，则其三边之比顺次等于 222\sqrt{2}，232\sqrt{3}，6+2\sqrt{6}+\sqrt{2} 之比.

1958 · 湖南 · 第 4 题 · 解答题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
一矩形内接于圆，它的面积是 48 cm248\mathrm{~cm}^{2}，圆半径是 5 cm5\mathrm{~cm}，求矩形的两邻边.

1958 · 湖南 · 第 5 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
设 ADAD，BEBE 是由圆 OO 的直径 ABAB 两端点所引的切线，DEDE 是过圆上任意一点 FF 的切线，此切线与 ADAD，BEBE 交于 DD 及 EE，求证：AB⋅BE=OF2AB\cdot BE=OF^{2}.

1958 · 湖南 · 第 6 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
正六棱锥底面的边长是 4 cm4\mathrm{~cm}，侧面与底面所成二面角等于 45∘45^{\circ}，求这棱锥体的体积.

1958 · 湖南 · 第 7 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
证明二面角的平分面内任意一点到这二面角的两个面的距离相等.

1958 · 湖南 · 第 8 题 · 解答题

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