已知直线 $l$ 过圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 的圆心，且与直线 $x + y + 1 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $x^2+(y-3)^2=4$ 的圆心为 $(0,3)$. 直线 $x+y+1=0$ 的斜率为 $-1$，所以与它垂直的直线斜率为 $1$. 过 $(0,3)$ 的直线 $l$ 为 $y-3=x$，即 $x-y+3=0$. 因此选 D. \end{solution}

已知圆 $C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = 1$，平面区域 若圆心 $C \in \Omega$，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，则 $a^2 + b^2$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 圆 $C$ 的半径为 $1$，且与 $x$ 轴相切，所以圆心的纵坐标满足 $|b|=1$. 又圆心 $C\in\Omega$ 且 $y\geqslant0$，故 $b=1$. 将 $(a,1)$ 代入区域条件，得 $a+1\leqslant7$ 和 $a-1+3\geqslant0$，即 $-2\leqslant a\leqslant6$. 于是 $a^2+b^2=a^2+1$. 在区间 $[-2,6]$ 上，$a^2$ 的最大值为 $36$，在 $a=6$ 时取得，所以最大值为 $37$. 因此选 C. \end{solution}

已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y = -3$ 的距离小 2.

(1) 求曲线 $\Gamma$ 的方程； (2) 曲线 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$. 直线 $y = 3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M$，$N$. 以 $MN$ 为直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$. 试探究：当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $AB$ 的长度是否发生变化？证明你的结论.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设曲线 $\Gamma$ 上任意一点为 $P(x,y)$. 由题意，$\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+3|-2$. 当 $y\geqslant-3$ 时，右端为 $y+1$，因而 $y\geqslant-1$，平方并化简得 $x^2=4y$，进而 $y\geqslant0$. 当 $y<-3$ 时，右端为 $-y-5$，要使右端非负必须 $y\leqslant-5$，平方得 $x^2=12(y+2)<0$，不可能. 因此曲线方程为 $y=\frac{x^2}{4}$. \item 设 $P=\left(t,\frac{t^2}{4}\right)$，其中 $t\neq0$. 抛物线在 $P$ 处的切线斜率为 $\frac t2$，所以切线 $l$ 的方程为 $y-\frac{t^2}{4}=\frac t2(x-t)$，即 $y=\frac t2x-\frac{t^2}{4}$. 令 $y=0$，得 $A=\left(\frac t2,0\right)$；令 $y=3$，得 $M=\left(\frac{t^2+12}{2t},3\right)$. 又 $N=(0,3)$. 记 $u=\frac{t^2+12}{2t}$，则以 $MN$ 为直径的圆的圆心为 $C=\left(\frac u2,3\right)$，半径为 $r=\frac{|u|}{2}$. 由点 $A$ 向圆作切线，切线长满足 $AB^2=AC^2-r^2$. 于是 $AB^2=\left(\frac t2-\frac u2\right)^2+9-\frac{u^2}{4}=\frac{t^2-2tu}{4}+9=\frac{t^2-(t^2+12)}4+9=6$. 所以 $AB=\sqrt6$，与 $P$ 的位置无关，线段 $AB$ 的长度不发生变化. \end{enumerate} \end{solution}