已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$.

(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值； (2) 证明：当 $x > 0$ 时，$x^2 < \mathrm{e}^x$； (3) 证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 $x_0$，使得当 $x \in (x_0, +\infty)$ 时，恒有 $x^2 < c\mathrm{e}^x$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $f(0)=1$，故图象与 $y$ 轴交于 $A=(0,1)$. 又 $f'(x)=\mathrm{e}^x-a$，所以切线斜率为 $f'(0)=1-a=-1$，从而 $a=2$. 此时 $f'(x)=\mathrm{e}^x-2$，当 $x<\ln2$ 时 $f'(x)<0$，当 $x>\ln2$ 时 $f'(x)>0$. 因此函数在 $x=\ln2$ 处取得极小值 $f(\ln2)=\mathrm{e}^{\ln2}-2\ln2=2-2\ln2$. 又 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，所以函数没有最大值. \item 令 $g(x)=\mathrm{e}^x-x^2$，则 $g'(x)=\mathrm{e}^x-2x$. 由第（1）问，函数 $\mathrm{e}^x-2x$ 的最小值为 $2-2\ln2$. 因为 $0<2<\mathrm{e}$，所以 $\ln2<1$，从而 $2-2\ln2>0$，故 $g'(x)>0$，即 $g$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增. 又 $g(0)=1>0$，所以当 $x>0$ 时 $g(x)>g(0)>0$，即 $x^2<\mathrm{e}^x$. \item 给定 $c>0$，取 $x_0=\max\left\{1,2\ln\frac4c\right\}$. 当 $x>x_0$ 时，$x>0$，且 $x>2\ln\frac4c$. 由第（2）问应用于 $\frac x2$，得 $\frac{x^2}{4}<\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$，即 $x^2<4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$. 又由 $x>2\ln\frac4c$ 得 $4<c\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$，所以 $4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}<c\mathrm{e}^x$. 综上，$x^2<c\mathrm{e}^x$. \end{enumerate} \end{solution}