要制作一个容积为 $4 \mathrm{~m}^{3}$，高为 $1 \mathrm{~m}$ 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设容器底面的两边长分别为 $x>0$、$y>0$. 由体积为 $4\mathrm{~m}^3$ 且高为 $1\mathrm{~m}$，得 $xy=4$. 底面造价为 $20\times4=80$ 元，四个侧面的面积为 $2(x+y)\mathrm{~m}^2$，侧面造价为 $10\times2(x+y)=20(x+y)$ 元. 因此总造价 $C=80+20(x+y)$. 由基本不等式，$x+y\geqslant2\sqrt{xy}=4$，等号在 $x=y=2$ 时成立，所以 $C\geqslant80+20\times4=160$ 元. 因此最低总造价为 $160$ 元，选 C. \end{solution}

在平面直角坐标系中，两点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$，$P_{2}(x_{2}, y_{2})$ 间的 “$\mathrm{L}$-距离” 定义为 $\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$，则平面内与 $x$ 轴上两个不同的定点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的 “$\mathrm{L}$-距离” 之和等于定值（大于 $\|F_1F_2\|$）的点的轨迹可以是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 在 $x$ 轴上取两定点的中点为原点，设 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$，其中 $c>0$. 设动点为 $P=(x,y)$，两点的“$\mathrm{L}$-距离”之和为 $S$，则 $S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|$. 题设给出 $S>2c$. 当 $|x|\leqslant c$ 时，$S=2c+2|y|$，所以 $|y|=\frac{S-2c}{2}$，得到上下两条水平线段；当 $|x|\geqslant c$ 时，$S=2|x|+2|y|$，所以 $|x|+|y|=\frac{S}{2}$，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}