以边长为 $1$ 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 正方形绕其中一边旋转一周所得圆柱的底面半径为 $1$，高为 $1$，所以其侧面积为 $2\pi rh=2\pi$. 因此选 A. \end{solution}

如图，三棱锥 $A - BCD$ 中，$AB \perp$ 平面 $BCD$，$CD \perp BD$.

(1) 求证：$CD \perp$ 平面 $ABD$； (2) 若 $AB = BD = CD = 1$，$M$ 为 $AD$ 中点，求三棱锥 $A - MBC$ 的体积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $AB\perp$ 平面 $BCD$，且 $CD$ 在平面 $BCD$ 内，所以 $AB\perp CD$. 题设又给出 $BD\perp CD$，而 $AB$ 与 $BD$ 是平面 $ABD$ 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，$CD\perp$ 平面 $ABD$. \item 建立空间直角坐标系，取 $B=(0,0,0)$、$D=(1,0,0)$、$C=(1,1,0)$、$A=(0,0,1)$，则条件 $AB\perp$ 平面 $BCD$、$AB=BD=CD=1$ 均满足. 因为 $M$ 是 $AD$ 的中点，所以 $M=\left(\frac12,0,\frac12\right)$. 于是 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)$，$\overrightarrow{AB}=(0,0,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(1,1,-1)$. 计算得 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)$，从而 $V_{A-MBC}=\frac16\left|\overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac16\times\frac12=\frac1{12}$. \end{enumerate} \end{solution}