将函数 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位，得到函数 $y = f(x)$ 的函数图象，则下列说法正确的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位后，$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$. 函数 $\cos x$ 是偶函数，最小正周期为 $2\pi$，且图象关于直线 $x=0$ 对称，故 A、B、C 均不正确. 又 $f(-\pi-x)=\cos(-\pi-x)=-\cos x=-f(x)$，所以图象关于点 $\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$ 对称. 因此选 D. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，$A = 60^\circ$，$AC = 2$，$BC = \sqrt{3}$，则 $AB$ 等于______.

\begin{answer} 1 \end{answer}

\begin{solution} 在三角形 $ABC$ 中，$AB$ 与 $AC$ 的夹角为 $60^\circ$. 由余弦定理，$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos60^\circ$. 代入 $BC=\sqrt3$、$AC=2$，得 $3=AB^2+4-2AB$，即 $(AB-1)^2=0$. 因此 $AB=1$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x)$.

(1) 求 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 $x=\frac{5\pi}{4}$ 代入，得 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2$. \item 化简得 $f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)$. 因此最小正周期满足 $2T=2\pi$，即 $T=\pi$. 又 $f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)$，所以在单调递增区间内 $f'(x)\geqslant0$，且内部除端点外为正，即 $-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi$，从而 $k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8$. 故函数的单调递增区间为 $\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. \end{enumerate} \end{solution}