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01复数★☆☆☆☆
(1−i)2⋅i=(1 - \mathrm{i})^{2}\cdot \mathrm{i}=（ ）
A.
2−2i2 - 2\mathrm{i}
B.
2+2i2 + 2\mathrm{i}
C.
−2-2
D.
22

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡1−x1+xf(x)=\lg \frac{1 - x}{1 + x}，若 f(a)=bf(a)=b，则 f(−a)=f(-a)=（ ）
A.
bb
B.
−b-b
C.
1b\frac{1}{b}
D.
−1b-\frac{1}{b}

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 均为单位向量，它们的夹角为 60∘60^{\circ}，那么 ∣a+3b∣=|\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}| =（ ）
A.
7\sqrt{7}
B.
10\sqrt{10}
C.
13\sqrt{13}
D.
44

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x−1+1y = \sqrt{x - 1} + 1（x⩾1x \geqslant 1）的反函数是（ ）
A.
y=x2−2x+2y = x^{2} - 2x + 2（x<1x < 1）
B.
y=x2−2x+2y = x^{2} - 2x + 2（x⩾1x \geqslant 1）
C.
y=x2−2xy = x^{2} - 2x（x<1x < 1）
D.
y=x2−2xy = x^{2} - 2x（x⩾1x \geqslant 1）

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x3−1x)7\left(2x^{3} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^7 的展开式中常数项是（ ）
A.
1414
B.
−14-14
C.
4242
D.
−42-42

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 AA，BB，II 均为非空集合，且满足 A⊆B⊆IA \subseteq B \subseteq I，则下列各式中错误的是（ ）
A.
(∁IA)∪B=I(\complement_{I} A) \cup B = I
B.
(∁IA)∪(∁IB)=I(\complement_{I} A) \cup (\complement_{I} B) = I
C.
A∩(∁IB)=∅A \cap (\complement_{I} B) = \varnothing
D.
(∁IA)∩(∁IB)=∁IB(\complement_{I} A) \cap (\complement_{I} B) = \complement_{I} B

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
椭圆 x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 的两个焦点为 F1F_1，F2F_2，过 F1F_1 作垂直于 xx 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 PP，则 ∣PF2→∣=|\overrightarrow{PF_2}| =（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
3\sqrt{3}
C.
72\frac{7}{2}
D.
44

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 y2=8xy^{2} = 8x 的准线与 xx 轴交于点 QQ，若过点 QQ 的直线 ll 与抛物线有公共点，则直线 ll 的斜率的取值范围是（ ）
A.
[−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
B.
[−2,2][-2, 2]
C.
[−1,1][-1, 1]
D.
[−4,4][-4, 4]

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(2x−π6)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) 的图象，可以将函数 y=cos⁡2xy = \cos 2x 的图象（ ）
A.
向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度
B.
向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度
C.
向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度
D.
向左平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知正四面体 ABCDABCD 的表面积为 SS，其四个面的中心分别为 EE，FF，GG，HH. 设四面体 EFGHEFGH 的表面积为 TT，则 TS\frac{T}{S} 等于（ ）
A.
19\frac{1}{9}
B.
49\frac{4}{9}
C.
14\frac{1}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
从数字 11，22，33，44，55 中，随机抽取 33 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于 99 的概率为（ ）
A.
13125\frac{13}{125}
B.
16125\frac{16}{125}
C.
18125\frac{18}{125}
D.
19125\frac{19}{125}

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1，b2+c2=2b^2 + c^2 = 2，c2+a2=2c^2 + a^2 = 2，ab+bc+caab + bc + ca 的最小值为（ ）
A.
3−12\sqrt{3} - \frac{1}{2}
B.
12−3\frac{1}{2} -\sqrt{3}
C.
−12−3-\frac{1}{2} -\sqrt{3}
D.
12+3\frac{1}{2} +\sqrt{3}

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x+2∣⩾∣x∣|x + 2| \geqslant |x| 的解集是______.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
由动点 PP 向圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 引两条切线 PAPA，PBPB，切点分别为 AA，BB，∠APB=60∘\angle APB = 60^{\circ}，则动点 PP 的轨迹方程为______.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，满足 a1=1a_{1} = 1，an=a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)an−1a_{n} = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \cdots + (n - 1)a_{n-1}（n⩾2n \geqslant 2），则 {an}\{a_{n}\} 的通项
an={1,n=1,‾,n⩾2.a_{n} = \begin{cases} 1, & n = 1,\\ \underline{\hspace{2em}}, & n \geqslant 2. \end{cases}

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 aa，bb 为不垂直的异面直线，α\alpha 是一个平面，则 aa，bb 在 α\alpha 上的射影有可能是：
① 两条平行直线； ② 两条互相垂直的直线； ③ 同一条直线； ④ 一条直线及其外一点.
在上面结论中，正确结论的编号是______.（写出所有正确结论的编号）

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
求函数 f(x)=sin⁡4x+cos⁡4x+sin⁡2xcos⁡2x2−sin⁡2xf(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x + \sin^2 x \cos^2 x}{2 - \sin 2x} 的最小正周期，最大值和最小值.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
一接待中心有 AA，BB，CC，DD 四部热线电话，已知某一时刻电话 AA，BB 占线的概率均为 0.50.5，电话 CC，DD 占线的概率均为 0.40.4，各部电话是否占线相互之间没有影响. 假设该时刻有 ξ\xi 部电话占线. 试求随机变量 ξ\xi 的概率分布和它的期望.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，求函数 f(x)=x2eaxf(x) = x^2 \mathrm{e}^{ax} 的单调区间.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD，PB⊥ADPB \perp AD，侧面 PADPAD 为边长等于 22 的正三角形，底面 ABCDABCD 为菱形，侧面 PADPAD 与底面 ABCDABCD 所成的二面角为 120∘120^{\circ}.
(1) 求点 PP 到平面 ABCDABCD 的距离； (2) 求面 APBAPB 与面 CPBCPB 所成二面角的大小.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
设双曲线 C:x2a2−y2=1C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1（a>0a > 0）与直线 l:x+y=1l: x + y = 1 相交于两个不同的点 AA，BB.
(1) 求双曲线 CC 的离心率 ee 的取值范围； (2) 设直线 ll 与 yy 轴的交点为 PP，且 PA→=512PB→\overrightarrow{PA} = \frac{5}{12}\overrightarrow{PB}. 求 aa 的值.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1 = 1，且 a2k=a2k−1+(−1)ka_{2k} = a_{2k-1} + (-1)^k，a2k+1=a2k+3ka_{2k+1} = a_{2k} + 3^k，其中 k=1k = 1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a3a_{3}，a5a_{5}； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2004 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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