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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}，集合 A={0,1,3,5,8}A = \{0, 1, 3, 5, 8\}，集合 B={2,4,5,6,8}B = \{2, 4, 5, 6, 8\}，则 (∁UA)∩(∁UB)=(\complement_U A) \cap (\complement_U B) =（ ）
A.
{5,8}\{5,8\}
B.
{7,9}\{7,9\}
C.
{0,1,3}\{0,1,3\}
D.
{2,4,6}\{2,4,6\}

2012 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 2−i2+i=\frac{2 - \mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}} =（ ）
A.
35−45i\frac{3}{5} - \frac{4}{5}\mathrm{i}
B.
35+45i\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\mathrm{i}
C.
1−45i1 - \frac{4}{5}\mathrm{i}
D.
1+35i1 + \frac{3}{5}\mathrm{i}

2012 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知两个非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|. 则下面结论正确的是（ ）
A.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}
B.
a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
C.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
D.
a+b=a−b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}

2012 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知命题 p:∀x1p: \forall x_1，x2∈Rx_2 \in \mathbf{R}，(f(x2)−f(x1))(x2−x1)⩾0(f(x_2) - f(x_1))(x_2 - x_1) \geqslant 0，则 ¬p\neg p 是（ ）
A.
∃x1,x2∈R,(f(x2)−f(x1))(x2−x1)⩽0\exists x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}, (f(x_{2}) - f(x_{1}))(x_{2} - x_{1}) \leqslant 0
B.
∀x1\forall x_{1}，x2∈Rx_{2} \in \mathbf{R}， (f(x2)−f(x1))(x2−x1)⩽0\ (f(x_{2}) - f(x_{1}))(x_{2} - x_{1}) \leqslant 0
C.
∃x1\exists x_{1}，x2∈Rx_{2} \in \mathbf{R}， (f(x2)−f(x1))(x2−x1)<0\ (f(x_{2}) - f(x_{1}))(x_{2} - x_{1}) < 0
D.
∀x1\forall x_{1}，x2∈Rx_{2} \in \mathbf{R}， (f(x2)−f(x1))(x2−x1)<0\ (f(x_{2}) - f(x_{1}))(x_{2} - x_{1}) < 0

2012 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
一排99 个座位坐了33 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数（ ）
A.
3×3!3 \times 3!
B.
3×(3!)33 \times (3!)^{3}
C.
(3!)4(3!)^{4}
D.
9!9!

2012 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a4+a8=16a_{4} + a_{8} = 16，则该数列前 1111 项和 S11=S_{11} =（ ）
A.
58
B.
88
C.
143
D.
176

2012 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α−cos⁡α=2\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2}，α∈(0,π)\alpha \in (0, \pi)，则 tan⁡α=\tan \alpha =（ ）
A.
−1-1
B.
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
1

2012 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足
{x−y⩽10,0⩽x+y⩽20,0⩽y⩽15,\begin{cases} x - y \leqslant 10,\\ 0 \leqslant x + y \leqslant 20,\\ 0 \leqslant y \leqslant 15, \end{cases}
则 2x+3y2x + 3y 的最大值为（ ）
A.
20
B.
35
C.
45
D.
55

2012 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 SS 值是（ ）
A.
−1-1
B.
32\frac{3}{2}
C.
23\frac{2}{3}
D.
4

2012 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★☆☆☆
在长为 12 cm12 \mathrm{~cm} 的线段 ABAB 上任取一点 CC. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 ACAC，CBCB 的长，则该矩形面积小于 32 cm232 \mathrm{~cm}^{2} 的概率为（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
13\frac{1}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
45\frac{4}{5}

2012 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)，f(x)=f(2−x)f(x) = f(2 - x)，且当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，f(x)=x3f(x) = x^3. 又函数 g(x)=∣xcos⁡(πx)∣g(x) = |x\cos(\pi x)|，则函数 h(x)=g(x)−f(x)h(x) = g(x) - f(x) 在 [−12,32]\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] 上的零点个数为（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8

2012 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
若 x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
ex⩽1+x+x2\mathrm{e}^{x}\leqslant1+x+x^{2}
B.
11+x⩽1−12x+14x2\frac{1}{\sqrt{1 + x}}\leqslant 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^2
C.
cos⁡x⩾1−12x2\cos x \geqslant 1 - \frac{1}{2} x^2
D.
ln⁡(1+x)⩾x−18x2\ln (1 + x) \geqslant x - \frac{1}{8} x^2

2012 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 为递增数列，且 a52=a10a_{5}^{2}=a_{10}，2(an+an+2)=5an+12(a_{n}+a_{n+2})=5a_{n+1}，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 an=a_{n}=______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 PP，QQ 为抛物线 x2=2yx^{2} = 2y 上两点，点 PP，QQ 的横坐标分别为 4，−2-2，过 PP，QQ 分别作抛物线的切线. 两切线交于 AA，则点 AA 的纵坐标为______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知正三棱锥 P−ABCP - ABC，点 PP，AA，BB，CC 都在半径为 3\sqrt{3} 的球面上. 若 PAPA，PBPB，PCPC 两两互相垂直，则球心到截面 ABCABC 的距离为______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 角 AA，BB，CC 成等差数列.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值. (2) 若边 aa，bb，cc 成等比数列，求 sin⁡Asin⁡C\sin A \sin C 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C'，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，AB=AC=λAA′AB = AC = \lambda AA'，点 MM，NN 分别为 A′BA'B 和 B′C′B'C' 的中点.
(1) 证明：MN∥MN \parallel 平面 A′ACC′A'ACC'. (2) 若二面角 A′−MN−CA' - MN - C 为直二面角，求 λ\lambda 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于 4040 分钟的观众称为“体育迷”.
(1) 根据已知条件完成下面的 2×22 \times 2 列表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ (2) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众. 抽取 33 次，记被抽取的 33 名观众中的“体育迷”人数为 XX. 若每次抽取的结果是相互独立的，求 XX 的分布列，期望 E(X)E(X) 和方差 D(X)D(X).
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，P(χ2⩾k)P(\chi^2 \geqslant k) 与 kk 的对应关系为：0.05↔3.8410.05 \leftrightarrow 3.841，0.01↔6.6350.01 \leftrightarrow 6.635.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C0:x2a2+y2b2=1C_{0}:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0， a\ a，bb 为常数），动圆 C1:x2+y2=t12C_1: x^2 + y^2 = t_1^2（b<t1<ab < t_1 < a）. 点 A1A_{1}，A2A_{2} 分别为 C0C_0 的左，右顶点，C1C_1 与 C0C_0 相交于 AA，BB，CC，DD 四点.
(1) 求直线 AA1AA_{1} 与直线 A2BA_{2}B 交点 MM 的轨迹方程. (2) 设动圆 C2:x2+y2=t22C_{2}: x^{2} + y^{2} = t_{2}^{2} 与 C0C_{0} 相交于 A′A'，B′B'，C′C'，D′D' 四点，其中 b<t2<ab < t_{2} < a，t1≠t2t_{1} \neq t_{2}. 若矩形 ABCDABCD 与矩形 A′B′C′D′A'B'C'D' 的面积相等，证明：t12+t22t_{1}^{2} + t_{2}^{2} 为定值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 f(x)=ln⁡(x+1)+x+1+ax+bf(x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x + 1} + ax + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数），曲线 y=f(x)y = f(x) 与直线 y=32xy = \frac{3}{2} x 在 (0,0)(0,0) 点相切.
(1) 求 aa，bb 的值. (2) 证明：当 0<x<20 < x < 2 时，f(x)<9xx+6f(x) < \frac{9x}{x + 6}.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，⊙O\odot O 和 ⊙O′\odot O' 相交于 AA，BB 两点，过 AA 作两圆的切线分别交两圆于 CC，DD 两点，连接 DBDB 并延长交 ⊙O\odot O 于点 EE. 证明：
(1) AC⋅BD=AD⋅ABAC \cdot BD = AD \cdot AB. (2) AC=AEAC = AE.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 C1:x2+y2=4C_1: x^2 + y^2 = 4，圆 C2:(x−2)2+y2=4C_2: (x - 2)^2 + y^2 = 4.
(1) 在以 OO 为极点，xx 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1C_{1}，C2C_{2} 的极坐标方程，并求出圆 C1C_{1}，C2C_{2} 的交点坐标（用极坐标表示）. (2) 求圆 C1C_{1} 与 C2C_{2} 的公共弦的参数方程.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣ax+1∣f(x) = |ax + 1|（a∈Ra \in \mathbf{R}），不等式 f(x)⩽3f(x) \leqslant 3 的解集为 {x∣−2⩽x⩽1}\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1\}.
(1) 求 aa 的值. (2) 若 ∣f(x)−2f(x2)∣⩽k\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\leqslant k 恒成立，求 kk 的取值范围.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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