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12
导数及其应用
★★★★☆
若
x
∈
[
0
,
+
∞
)
x \in [0, +\infty)
x
∈
[
0
,
+
∞
)
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
e
x
⩽
1
+
x
+
x
2
\mathrm{e}^{x}\leqslant1+x+x^{2}
e
x
⩽
1
+
x
+
x
2
B.
1
1
+
x
⩽
1
−
1
2
x
+
1
4
x
2
\frac{1}{\sqrt{1 + x}}\leqslant 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^2
1
+
x
1
⩽
1
−
2
1
x
+
4
1
x
2
C.
cos
x
⩾
1
−
1
2
x
2
\cos x \geqslant 1 - \frac{1}{2} x^2
cos
x
⩾
1
−
2
1
x
2
D.
ln
(
1
+
x
)
⩾
x
−
1
8
x
2
\ln (1 + x) \geqslant x - \frac{1}{8} x^2
ln
(
1
+
x
)
⩾
x
−
8
1
x
2
2012 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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15
解析几何
★★☆☆☆
已知
P
P
P
，
Q
Q
Q
为抛物线
x
2
=
2
y
x^{2} = 2y
x
2
=
2
y
上两点，点
P
P
P
，
Q
Q
Q
的横坐标分别为 4，
−
2
-2
−
2
，过
P
P
P
，
Q
Q
Q
分别作抛物线的切线. 两切线交于
A
A
A
，则点
A
A
A
的纵坐标为______.
2012 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题
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21
导数及其应用
★★★★★
设
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
)
+
x
+
1
+
a
x
+
b
f(x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x + 1} + ax + b
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
)
+
x
+
1
+
a
x
+
b
（
a
a
a
，
b
∈
R
b \in \mathbf{R}
b
∈
R
，
a
a
a
，
b
b
b
为常数），曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
与直线
y
=
3
2
x
y = \frac{3}{2} x
y
=
2
3
x
在
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
点相切.
(1) 求
a
a
a
，
b
b
b
的值. (2) 证明：当
0
<
x
<
2
0 < x < 2
0
<
x
<
2
时，
f
(
x
)
<
9
x
x
+
6
f(x) < \frac{9x}{x + 6}
f
(
x
)
<
x
+
6
9
x
.
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