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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2,4,6}A=\{1,2,4,6\}，B={2,4}B=\{2,4\}，C={x∈R∣−1≤x≤5}C=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\le x\le 5\}，则 (A∪B)∩C=(A\cup B)\cap C=（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{1,2,4}\{1,2,4\}
C.
{1,2,4,5}\{1,2,4,5\}
D.
{x∈R∣−1≤x≤5}\{x\in\mathbf{R}\mid -1\le x\le 5\}

2017 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{2x+y≥0,x+2y−2≥0,x≤0,y≤3,\begin{cases} 2x+y\ge 0,\\ x+2y-2\ge 0,\\ x\le 0,\\ y\le 3, \end{cases}
则目标函数 z=x+yz=x+y 的最大值为（ ）
A.
23\dfrac{2}{3}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
33

2017 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 2424，则输出 NN 的值为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2017 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 θ∈R\theta\in\mathbf{R}，则“∣θ−π12∣<π12\left|\theta-\dfrac{\pi}{12}\right|<\dfrac{\pi}{12}”是“sin⁡θ<12\sin\theta<\dfrac12”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2017 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，离心率为 2\sqrt{2}. 若经过 FF 和 P(0,4)P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−y24=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}=1
B.
x28−y28=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2017 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知奇函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数，g(x)=xf(x)g(x)=xf(x). 若 a=g(−log⁡25.1)a=g(-\log_2 5.1)，b=g(20.8)b=g(2^{0.8})，c=g(3)c=g(3)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
b<c<ab<c<a

2017 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=2sin⁡(ωx+φ)f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)，x∈Rx\in\mathbf{R}，其中 ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi. 若 f(5π8)=2f\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=2，f(11π8)=0f\left(\dfrac{11\pi}{8}\right)=0，且 f(x)f(x) 的最小正周期大于 2π2\pi，则（ ）
A.
ω=23\omega=\dfrac{2}{3}，φ=π12\varphi=\dfrac{\pi}{12}
B.
ω=23\omega=\dfrac{2}{3}，φ=−11π12\varphi=-\dfrac{11\pi}{12}
C.
ω=13\omega=\dfrac{1}{3}，φ=−11π24\varphi=-\dfrac{11\pi}{24}
D.
ω=13\omega=\dfrac{1}{3}，φ=7π24\varphi=\dfrac{7\pi}{24}

2017 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知函数
f(x)={x2−x+3,x≤1,x+2x,x>1,f(x)= \begin{cases} x^2-x+3,&x\le 1,\\ x+\dfrac{2}{x},&x>1, \end{cases}
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac{x}{2}+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−4716,2]\left[-\dfrac{47}{16},2\right]
B.
[−4716,3916]\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]
C.
[−23,2]\left[-2\sqrt{3},2\right]
D.
[−23,3916]\left[-2\sqrt{3},\dfrac{39}{16}\right]

2017 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★★☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，若 a−i2+i\dfrac{a-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} 为实数，则 aa 的值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1818，则这个球的体积为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 4ρcos⁡(θ−π6)+1=04\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)+1=0 与圆 ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta 的公共点的个数为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 11，22，33，44，55，66，77，88，99 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个. （用数字作答）

2017 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a>ba>b，a=5a=5，c=6c=6，sin⁡B=35\sin B=\dfrac{3}{5}.
(1) 求 bb 和 sin⁡A\sin A 的值； (2) 求 sin⁡(2A+π4)\sin\left( 2A+\dfrac{\pi}{4} \right) 的值.

2017 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
从甲地到乙地要经过 33 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12\dfrac{1}{2}，13\dfrac{1}{3}，14\dfrac{1}{4}.
(1) 设 XX 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望； (2) 若有 22 辆车独立地从甲地到乙地，求这 22 辆车共遇到 11 个红灯的概率.

2017 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCABC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. 点 DD，EE，NN 分别为棱 PAPA，PCPC，BCBC 的中点，MM 是线段 ADAD 的中点，PA=AC=4PA=AC=4，AB=2AB=2.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BDEBDE； (2) 求二面角 C−EM−NC-EM-N 的正弦值； (3) 已知点 HH 在棱 PAPA 上，且直线 NHNH 与直线 BEBE 所成角的余弦值为 721\dfrac{\sqrt{7}}{21}，求线段 AHAH 的长.

2017 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nb2n−1}\{a_{2n}b_{2n-1}\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，离心率为 12\dfrac{1}{2}. 已知 AA 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，FF 到抛物线的准线 ll 的距离为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； (2) 设 ll 上两点 PP，QQ 关于 xx 轴对称，直线 APAP 与椭圆相交于点 BB（BB 异于点 AA），直线 BQBQ 与 xx 轴相交于点 DD. 若 △APD\triangle APD 的面积为 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}，求直线 APAP 的方程.

2017 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈Za\in\mathbf{Z}. 已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2x4+3x3−3x2−6x+af(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a 在区间 (1,2)(1,2) 内有一个零点 x0x_0，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间； (2) 设 m∈[1,x0)∪(x0,2]m\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，函数 h(x)=g(x)(m−x0)−f(m)h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)，求证：h(m)h(x0)<0h(m)h(x_0)<0； (3) 求证：存在大于 00 的常数 AA，使得对于任意的正整数 pp，qq，且 pq∈[1,x0)∪(x0,2]\dfrac{p}{q}\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，满足 ∣pq−x0∣≥1Aq4\left|\dfrac{p}{q}-x_0\right|\ge \dfrac{1}{Aq^4}.

2017 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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