已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左焦点为 $F$，离心率为 $\sqrt{2}$. 若经过 $F$ 和 $P(0,4)$ 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）

在极坐标系中，直线 $4\rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)+1=0$ 与圆 $\rho=2\sin\theta$ 的公共点的个数为______.

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$. 已知 $A$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，$F$ 到抛物线的准线 $l$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； (2) 设 $l$ 上两点 $P$，$Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AP$ 与椭圆相交于点 $B$（$B$ 异于点 $A$），直线 $BQ$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$. 若 $\triangle APD$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $AP$ 的方程.