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06
函数与初等函数
★★★☆☆
已知奇函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
R
\mathbf{R}
R
上是增函数，
g
(
x
)
=
x
f
(
x
)
g(x)=xf(x)
g
(
x
)
=
x
f
(
x
)
. 若
a
=
g
(
−
log
2
5.1
)
a=g(-\log_2 5.1)
a
=
g
(
−
lo
g
2
5.1
)
，
b
=
g
(
2
0.8
)
b=g(2^{0.8})
b
=
g
(
2
0.8
)
，
c
=
g
(
3
)
c=g(3)
c
=
g
(
3
)
，则
a
a
a
，
b
b
b
，
c
c
c
的大小关系为（ ）
A.
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
B.
c
<
b
<
a
c<b<a
c
<
b
<
a
C.
b
<
a
<
c
b<a<c
b
<
a
<
c
D.
b
<
c
<
a
b<c<a
b
<
c
<
a
2017 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题
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08
不等式
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
{
x
2
−
x
+
3
,
x
≤
1
,
x
+
2
x
,
x
>
1
,
f(x)= \begin{cases} x^2-x+3,&x\le 1,\\ x+\dfrac{2}{x},&x>1, \end{cases}
f
(
x
)
=
⎩
⎨
⎧
x
2
−
x
+
3
,
x
+
x
2
,
x
≤
1
,
x
>
1
,
设
a
∈
R
a\in\mathbf{R}
a
∈
R
，若关于
x
x
x
的不等式
f
(
x
)
≥
∣
x
2
+
a
∣
f(x)\ge \left|\dfrac{x}{2}+a\right|
f
(
x
)
≥
2
x
+
a
在
R
\mathbf{R}
R
上恒成立，则
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
[
−
47
16
,
2
]
\left[-\dfrac{47}{16},2\right]
[
−
16
47
,
2
]
B.
[
−
47
16
,
39
16
]
\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]
[
−
16
47
,
16
39
]
C.
[
−
2
3
,
2
]
\left[-2\sqrt{3},2\right]
[
−
2
3
,
2
]
D.
[
−
2
3
,
39
16
]
\left[-2\sqrt{3},\dfrac{39}{16}\right]
[
−
2
3
,
16
39
]
2017 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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20
导数及其应用
★★★★★
设
a
∈
Z
a\in\mathbf{Z}
a
∈
Z
. 已知定义在
R
\mathbf{R}
R
上的函数
f
(
x
)
=
2
x
4
+
3
x
3
−
3
x
2
−
6
x
+
a
f(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a
f
(
x
)
=
2
x
4
+
3
x
3
−
3
x
2
−
6
x
+
a
在区间
(
1
,
2
)
(1,2)
(
1
,
2
)
内有一个零点
x
0
x_0
x
0
，
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的导函数.
(1) 求
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的单调区间； (2) 设
m
∈
[
1
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
2
]
m\in[1,x_0)\cup(x_0,2]
m
∈
[
1
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
2
]
，函数
h
(
x
)
=
g
(
x
)
(
m
−
x
0
)
−
f
(
m
)
h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)
h
(
x
)
=
g
(
x
)
(
m
−
x
0
)
−
f
(
m
)
，求证：
h
(
m
)
h
(
x
0
)
<
0
h(m)h(x_0)<0
h
(
m
)
h
(
x
0
)
<
0
； (3) 求证：存在大于
0
0
0
的常数
A
A
A
，使得对于任意的正整数
p
p
p
，
q
q
q
，且
p
q
∈
[
1
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
2
]
\dfrac{p}{q}\in[1,x_0)\cup(x_0,2]
q
p
∈
[
1
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
2
]
，满足
∣
p
q
−
x
0
∣
≥
1
A
q
4
\left|\dfrac{p}{q}-x_0\right|\ge \dfrac{1}{Aq^4}
q
p
−
x
0
≥
A
q
4
1
.
2017 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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