设函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，$f(x)+g(x)=\mathrm{e}^x$，其中 $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 求 $f(x)$，$g(x)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>1$； (2) 设 $a\leqslant 0$，$b\geqslant 1$，证明：当 $x>0$ 时，$ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b)$.