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组题
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01计数原理与组合数学★★☆☆☆
如果 (3x2−2x3)n\left(3x^{2}-\frac{2}{x^{3}}\right)^{n} 的展开式中含有非零常数项，则正整数 nn 的最小值为（\quad）
A.
33
B.
55
C.
66
D.
1010

2007 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
将 y=2cos⁡(x3+π6)y = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) 的图象按向量 a=(−π4,−2)\boldsymbol{a} = \left(-\frac{\pi}{4}, -2\right) 平移，则平移后所得图象的解析式为（\quad）
A.
y=2cos⁡(x3+π4)−2y = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) - 2
B.
y=2cos⁡(x3−π4)+2y = 2\cos \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + 2
C.
y=2cos⁡(x3−π12)−2y = 2\cos \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{12}\right) - 2
D.
y=2cos⁡(x3+π12)+2y = 2\cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{12}\right) + 2

2007 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 PP 和 QQ 是两个集合，定义集合 P−Q={x∣x∈P,且 x∉Q}P - Q = \{x \mid x \in P, \text{且 } x \notin Q\}，如果 P={x∣log⁡2x<1}P = \{x \mid \log_2 x < 1\}，Q={x∣∣x−2∣<1}Q = \{x \mid |x - 2| < 1\}，那么 P−QP - Q 等于（\quad）
A.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}
B.
{x∣0<x⩽1}\{x\mid 0 < x\leqslant 1\}
C.
{x∣1⩽x<2}\{x\mid 1\leqslant x < 2\}
D.
{x∣2⩽x<3}\{x\mid 2\leqslant x < 3\}

2007 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
平面 α\alpha 外有两条直线 mm 和 nn，如果 mm 和 nn 在平面 α\alpha 内的射影分别是 m′m' 和 n′n'，给出下列四个命题：
① m′⊥n′⇒m⊥nm' \perp n' \Rightarrow m \perp n； ② m⊥n⇒m′⊥n′m \perp n \Rightarrow m' \perp n'； ③ m′m' 与 n′n' 相交 ⇒m\Rightarrow m 与 nn 相交或重合； ④ m′m' 与 n′n' 平行 ⇒m\Rightarrow m 与 nn 平行或重合.
其中不正确的命题个数是（\quad）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2007 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
已知 pp 和 qq 是两个不相等的正整数，且 q⩾2q \geqslant 2，则 lim⁡n→∞(1+1n)p−1(1+1n)q−1\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^p - 1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^q - 1} 等于（\quad）
A.
00
B.
11
C.
pq\frac{p}{q}
D.
p−1q−1\frac{p - 1}{q - 1}

2007 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+12an2=p\frac{a_{n+1}^2}{a_{n}^2} = p（pp 为正常数，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则称 {an}\{a_n\} 为“等方比数列”. 甲：数列 {an}\{a_n\} 是等方比数列；乙：数列 {an}\{a_n\} 是等比数列，则（\quad）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2007 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左准线为 ll，左焦点和右焦点分别为 F1F_1 和 F2F_2. 抛物线 C2C_2 的准线为 ll，焦点为 F2F_2；C1C_1 与 C2C_2 的一个交点为 MM，则 ∣F1F2∣∣MF1∣−∣MF1∣∣MF2∣\frac{|F_1F_2|}{|MF_1|} - \frac{|MF_1|}{|MF_2|} 等于（\quad）
A.
−1-1
B.
11
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2007 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★★☆
已知两个等差数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项分别为 AnA_{n} 和 BnB_{n}，且 AnBn=7n+45n+3\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7n + 45}{n + 3}，则使得 anbn\frac{a_{n}}{b_{n}} 为整数的正整数 nn 的个数是（\quad）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2007 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★☆☆☆
连掷两次骰子得到的点数分别为 mm 和 nn，记向量 a=(m,n)\boldsymbol{a} = (m, n) 与向量 b=(1,−1)\boldsymbol{b} = (1, -1) 的夹角为 θ\theta，则 θ∈(0,π2]\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right] 的概率是（\quad）
A.
512\frac{5}{12}
B.
12\frac{1}{2}
C.
712\frac{7}{12}
D.
56\frac{5}{6}

2007 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知直线 xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1（aa，bb 是非零常数）与圆 x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（\quad）
A.
6060 条
B.
6666 条
C.
7272 条
D.
7878 条

2007 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 y=2x−ay = 2x - a 的反函数是 y=bx+3y = bx + 3，则 a=a=______；b=b=______.

2007 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
复数 z=a+biz = a + b\mathrm{i}，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 b≠0b \neq 0. 若 z2−4bzz^2 - 4bz 是实数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出一个有序实数对即可）

2007 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+3⩾0,x+y⩾0,−2⩽x⩽3,\begin{cases} x - y + 3 \geqslant 0,\\ x + y \geqslant 0,\\ -2 \leqslant x \leqslant 3, \end{cases}
则目标函数 2x+y2x + y 的最小值为______.

2007 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
某男篮球运动员在三分线投球的命中率是 12\frac{1}{2}，他投球 1010 次，恰好投进 33 个球的概率为______. （用数值作答）

2007 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）成正比；药物释放完毕后，yy 与 tt 的函数关系式为 y=(116)t−ay = \left(\frac{1}{16}\right)^{t - a}（aa 为常数）. 如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）之间的函数关系式为______； (2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.250.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过______ 小时后，学生才能回到教室.

2007 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 33，且满足 0⩽AB→⋅AC→⩽60 \leqslant \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \leqslant 6，设 AB→\overrightarrow{AB} 和 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为 θ\theta.
(1) 求 θ\theta 的取值范围； (2) 求函数 f(θ)=2sin⁡2(π4+θ)−3cos⁡2θf(\theta) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \sqrt{3}\cos 2\theta 的最大值与最小值.

2007 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100100 个数据，将数据分组如下表：
(1) 补全频率分布表，并画出频率分布直方图； (2) 估计纤度落在 [1.38,1.50)[1.38, 1.50) 中的概率及纤度小于 1.401.40 的概率分别是多少？ (3) 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 [1.30,1.34)[1.30, 1.34) 的中点值是 1.321.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.

2007 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 V−ABCV - ABC 中，VC⊥VC \perp 底面 ABCABC，AC⊥BCAC \perp BC，DD 是 ABAB 的中点，且 AC=BC=aAC = BC = a，∠VDC=θ\angle VDC = \theta（0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}）.
(1) 求证：平面 VAB⊥VAB \perp 平面 VCDVCD； (2) 当角 θ\theta 变化时，求直线 BCBC 与平面 VABVAB 所成的角的取值范围.

2007 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过定点 C(0,p)C(0,p) 作直线与抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0）相交于 AA，BB 两点.
(1) 若点 NN 是点 CC 关于坐标原点 OO 的对称点，求 △ANB\triangle ANB 面积的最小值； (2) 是否存在垂直于 yy 轴的直线 ll，使得 ll 被以 ACAC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 ll 的方程；若不存在，说明理由.

2007 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知定义在正实数集上的函数 f(x)=12x2+2axf(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2ax，g(x)=3a2ln⁡x+bg(x) = 3a^2\ln x + b，其中 a>0a > 0. 设两曲线 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 有公共点，且在该点处的切线相同.
(1) 用 aa 表示 bb，并求 bb 的最大值； (2) 求证：f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)（x>0x > 0）.

2007 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
已知 mm，nn 为正整数.
(1) 用数学归纳法证明：当 x>−1x > -1 时，(1+x)m⩾1+mx(1 + x)^{m} \geqslant 1 + mx； (2) 对于 n⩾6n \geqslant 6，已知 (1−1n+3)n<12\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}. 求证 (1−mn+3)n<12\left(1 - \frac{m}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}，m=1m = 1，22，⋯\cdots，nn； (3) 求满足等式 3n+4n+⋯+(n+2)n=(n+3)n3^{n} + 4^{n} + \cdots + (n + 2)^{n} = (n + 3)^{n} 的所有正整数 nn.

2007 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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