已知定义在正实数集上的函数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2ax$，$g(x) = 3a^2\ln x + b$，其中 $a > 0$. 设两曲线 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1) 用 $a$ 表示 $b$，并求 $b$ 的最大值； (2) 求证：$f(x) \geqslant g(x)$（$x > 0$）.

已知 $m$，$n$ 为正整数.

(1) 用数学归纳法证明：当 $x > -1$ 时，$(1 + x)^{m} \geqslant 1 + mx$； (2) 对于 $n \geqslant 6$，已知 $\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}$. 求证 $\left(1 - \frac{m}{n + 3}\right)^n < \frac{1}{2}$，$m = 1$，$2$，$\cdots$，$n$； (3) 求满足等式 $3^{n} + 4^{n} + \cdots + (n + 2)^{n} = (n + 3)^{n}$ 的所有正整数 $n$.