已知 $a \in \mathbf{R}$，函数 $f(x) = 4x^3 - 2ax + a$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$f(x) + |2 - a| > 0$.

如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 到抛物线 $C: y^2 = 2px$ （$p > 0$）的准线的距离为 $\frac{5}{4}$. 点 $M(t, 1)$ 是 $C$ 上的定点，$A$，$B$ 是 $C$ 上的两动点，且线段 $AB$ 被直线 $OM$ 平分.

(1) 求 $p$，$t$ 的值； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积的最大值.