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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣−12<x<2}A = \left\{x \mid -\frac{1}{2} < x < 2\right\}，B={x∣x2⩽1}B = \{x \mid x^2 \leqslant 1\}，则 A∪B=A \cup B =（ ）
A.
{x∣−1⩽x<2}\{x\mid -1\leqslant x < 2\}
B.
{x∣−12<x⩽1}\left\{x\mid -\frac{1}{2} < x\leqslant 1\right\}
C.
{x∣x<2}\{x \mid x < 2\}
D.
{x∣1⩽x<2}\{x\mid 1\leqslant x < 2\}

2009 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0)\boldsymbol{a} = (1,0)，b=(0,1)\boldsymbol{b} = (0,1)，c=ka+b\boldsymbol{c} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（k∈Rk \in \mathbf{R}），d=a−b\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}，如果 c∥d\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}，那么（ ）
A.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
B.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向
C.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
D.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向

2009 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★☆☆☆☆
若 (1+2)4=a+b2(1 + \sqrt{2})^4 = a + b\sqrt{2}（aa，bb 为有理数），则 a+b=a + b =（ ）
A.
3333
B.
2929
C.
2323
D.
1919

2009 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=lg⁡x+310y = \lg \frac{x + 3}{10} 的图象，只需把函数 y=lg⁡xy = \lg x 的图象上所有的点（ ）
A.
向左平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
B.
向右平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
C.
向左平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度
D.
向右平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度

2009 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 11，22，33，44，55 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A.
88
B.
2424
C.
4848
D.
120120

2009 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a=π6a=\frac{\pi}{6}”是“cos⁡2a=12\cos2a=\frac{1}{2}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面边长为 11，AB1AB_{1} 与底面 ABCDABCD 成 60∘60^{\circ} 角，则 A1C1A_{1}C_{1} 到底面 ABCDABCD 的距离为（ ）
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2009 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设 DD 是正 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 及其内部的点构成的集合，点 P0P_{0} 是 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的中心. 若集合 S={P∣P∈D,∣PP0∣⩽∣PPi∣,i=1,2,3}S = \{P \mid P \in D, |PP_{0}| \leqslant |PP_{i}|, i = 1, 2, 3\}，则集合 SS 表示的平面区域是（ ）
A.
三角形区域
B.
四边形区域
C.
五边形区域
D.
六边形区域

2009 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
若 sin⁡θ=−45\sin \theta = -\frac{4}{5}，tan⁡θ>0\tan \theta > 0，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=1a_{1} = 1，an+1=2ana_{n+1} = 2a_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则 a5=‾a_{5} =\underline{\hspace{2em}}；前 88 项的和 S8=‾S_{8} =\underline{\hspace{2em}}. （用数字作答）

2009 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★☆☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,x⩽4,y⩽5.\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x \leqslant 4,\\ y \leqslant 5. \end{cases}
则 s=x+ys = x + y 的最大值为______.

2009 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={3x,x⩽1,−x,x>1.f(x) = \begin{cases} 3^x, & x \leqslant 1,\\ -x, & x > 1. \end{cases}
若 f(x)=2f(x) = 2，则 x=x =______.

2009 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
椭圆 x29+y22=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1 的焦点为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆上，若 ∣PF1∣=4|PF_1| = 4，则 ∣PF2∣=‾|PF_2| =\underline{\hspace{2em}}；∠F1PF2\angle F_1PF_2 的大小为______.

2009 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
设 AA 是整数集的一个非空子集，对于 k∈Ak \in A，如果 k−1∉Ak - 1 \notin A 且 k+1∉Ak + 1 \notin A，那么 kk 是 AA 的一个“孤立元”，给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}，由 SS 的 33 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______ 个.

2009 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡(π−x)cos⁡xf(x) = 2\sin (\pi - x)\cos x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π6,π2]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2009 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面是正方形，PD⊥ABCDPD \perp ABCD，点 EE 在棱 PBPB 上.
(1) 求证：平面 AEC⊥AEC \perp 平面 PDBPDB； (2) 当 PD=2ABPD = \sqrt{2} AB 且 EE 为 PBPB 的中点时，求 AEAE 与平面 PDBPDB 所成的角的大小.

2009 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某学生在上学路上要经过 44 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13\frac{1}{3}，遇到红灯时停留的时间都是 2 min2 \mathrm{~min}.
(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2) 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min4 \mathrm{~min} 的概率.

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−3ax+bf(x) = x^3 - 3ax + b（a≠0a \neq 0）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处与直线 y=8y = 8 相切，求 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值点.

2009 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 3\sqrt{3}，右准线方程为 x=33x = \frac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 已知直线 x−y+m=0x - y + m = 0 与双曲线 CC 交于不同的两点 AA，BB，且线段 ABAB 的中点在圆 x2+y2=5x^{2} + y^{2} = 5 上，求 mm 的值.

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式为 an=pn+qa_{n} = pn + q（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，p>0p > 0）. 数列 {bm}\{b_{m}\} 定义如下：对于正整数 mm，bmb_{m} 是使得不等式 an⩾ma_{n} \geqslant m 成立的所有 nn 中的最小值.
(1) 若 p=12p = \frac{1}{2}，q=−13q = -\frac{1}{3}，求 b3b_{3}； (2) 若 p=2p = 2，q=−1q = -1，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 2m2m 项和公式； (3) 是否存在 pp 和 qq，使得 bm=3m+2b_{m} = 3m + 2（m∈N∗m \in \mathbf{N}^{*}）？ 如果存在，求 pp 和 qq 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

2009 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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