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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={0,1,2}M = \{0, 1, 2\}，N={x∣x=2a,a∈M}N = \{x \mid x = 2a, a \in M\}，则集合 M∩N=M \cap N =（\quad）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{1,2}\{1,2\}
D.
{0,2}\{0,2\}

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=e2xy = \mathrm{e}^{2x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）的反函数为（\quad）
A.
y=2ln⁡xy = 2\ln x（x>0x > 0）
B.
y=ln⁡(2x)y = \ln\left(2x\right)（x>0x > 0）
C.
y=12ln⁡xy = \frac{1}{2}\ln x（x>0x > 0）
D.
y=12ln⁡(2x)y = \frac{1}{2}\ln\left(2x\right)（x>0x > 0）

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
过点 (−1,3)(-1, 3) 且垂直于直线 x−2y+3=0x - 2y + 3 = 0 的直线方程为（\quad）
A.
2x+y−1=02x + y - 1 = 0
B.
2x+y−5=02x + y - 5 = 0
C.
x+2y−5=0x + 2y - 5 = 0
D.
x−2y+7=0x - 2y + 7 = 0

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★☆☆☆☆
(1−3i1+i)2=\left(\frac{1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}\right)^2 =（\quad）
A.
3+i\sqrt{3} + \mathrm{i}
B.
−3−i-\sqrt{3} - \mathrm{i}
C.
3−i\sqrt{3} - \mathrm{i}
D.
−3+i-\sqrt{3} + \mathrm{i}

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
不等式 x(x+2)x−3<0\frac{x\left(x + 2\right)}{x - 3} < 0 的解集为（\quad）
A.
{x∣x<−2或0<x<3}\{x \mid x < -2 \text{或} 0 < x < 3\}
B.
{x∣−2<x<2或x>3}\{x \mid -2 < x < 2 \text{或} x > 3\}
C.
{x∣x<−2或x>0}\{x \mid x < -2 \text{或} x > 0\}
D.
{x∣x<0或x<3}\{x \mid x < 0 \text{或} x < 3\}

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1+a2+a3=−24a_{1} + a_{2} + a_{3} = -24，a18+a19+a20=78a_{18} + a_{19} + a_{20} = 78，则此数列前 2020 项和等于（\quad）
A.
160160
B.
180180
C.
200200
D.
220220

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
对于直线 mm，nn 和平面 α\alpha，下面命题中的真命题是（\quad）
A.
如果 m⊂αm \subset \alpha，n⊄αn \not\subset \alpha，mm，nn 是异面直线，那么 n∥αn \parallel \alpha
B.
如果 m⊂αm \subset \alpha，n⊄αn \not\subset \alpha，mm，nn 是异面直线，那么 nn 与 α\alpha 相交
C.
如果 m⊂αm \subset \alpha，n∥αn \parallel \alpha，mm，nn 共面，那么 m∥nm \parallel n
D.
如果 m∥αm \parallel \alpha，n∥αn \parallel \alpha，mm，nn 共面，那么 m∥nm \parallel n

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的中心在原点，离心率 e=12e = \frac{1}{2}，且它的一个焦点与抛物线 y2=−4xy^{2} = -4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（\quad）
A.
x24+y23=1\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = 1
B.
x28+y26=1\frac{x^2}{8} +\frac{y^2}{6} = 1
C.
x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1
D.
x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 55 位男教师和 44 位女教师中选出 33 位教师，派到 33 个班担任班主任（每班 11 位班主任），要求这 33 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（\quad）
A.
210210 种
B.
420420 种
C.
630630 种
D.
840840 种

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知球的表面积为 20π20\pi，球面上有 AA，BB，CC 三点. 如果 AB=AC=2AB = AC = 2，BC=23BC = 2\sqrt{3}，则球心到平面 ABCABC 的距离为（\quad）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为 ∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 的对边. 如果 aa，bb，cc 成等差数列，∠B=30∘\angle B = 30^{\circ}，△ABC\triangle ABC 的面积为 32\frac{3}{2}，那么 b=b =（\quad）
A.
1+32\frac{1 + \sqrt{3}}{2}
B.
1+31 + \sqrt{3}
C.
2+32\frac{2 + \sqrt{3}}{2}
D.
2+32 + \sqrt{3}

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）为奇函数，f(1)=12f(1) = \frac{1}{2}，f(x+2)=f(x)+f(2)f(x + 2) = f(x) + f(2)，则 f(5)=f(5) =（\quad）
A.
00
B.
11
C.
52\frac{5}{2}
D.
55

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1x)8\left(x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^8 展开式中 x5x^5 的系数为______.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 (a−b)⋅(2a+b)=−4\left(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right) \cdot \left(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right) = -4，且 ∣a∣=2|\boldsymbol{a}| = 2，∣b∣=4|\boldsymbol{b}| = 4，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 夹角的余弦值等于______.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡x−12cos⁡2xf(x) = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的最大值等于______.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件：
{x+y⩽1,y⩽x,y⩾0.\begin{cases} x + y \leqslant 1,\\ y \leqslant x,\\ y \geqslant 0. \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值是______.

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17三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，且 sin⁡α=154\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}，求 sin⁡(α+π4)sin⁡2α+cos⁡2α+1\frac{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 1} 的值.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
求函数 f(x)=ln⁡(1+x)−14x2f(x) = \ln\left(1 + x\right) - \frac{1}{4} x^2 在 [0,2][0,2] 上的最大值和最小值.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某同学参加科普知识竞赛，需回答 33 个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得 100100 分，回答不正确得 −100-100 分. 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.80.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1) 求这名同学回答这三个问题的总得分 ξ\xi 的概率分布和数学期望； (2) 求这名同学总得分不为负分（即 ξ⩾0\xi \geqslant 0）的概率.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，AB=8AB = 8，AD=43AD = 4\sqrt{3}，侧面 PADPAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为 60∘60^{\circ}.
(1) 求四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积； (2) 证明：PA⊥BDPA \perp BD.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>1a > 1，b>0b > 0）的焦点距为 2c2c，直线 ll 过点 (a,0)(a,0) 和 (0,b)(0,b)，且点 (1,0)(1,0) 到直线 ll 的距离与点 (−1,0)(-1,0) 到直线 ll 的距离之和 s⩾45cs \geqslant \frac{4}{5} c. 求双曲线的离心率 ee 的取值范围.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=e−x(cos⁡x+sin⁡x)f(x) = \mathrm{e}^{-x}\left(\cos x + \sin x\right). 将满足 f′(x)=0f'(x) = 0 的所有正数 xx 从小到大排成数列 {xn}\{x_n\}.
(1) 证明数列 {f(xn)}\{f(x_n)\} 为等比数列； (2) 记 SnS_{n} 是数列 {xnf(xn)}\{x_n f(x_n)\} 的前 nn 项和，求 lim⁡n→∞S1+S2+⋯+Snn\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{S_1 + S_2 + \cdots + S_n}{n}.

2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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