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12
函数与初等函数
★★☆☆☆
设函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
（
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
）为奇函数，
f
(
1
)
=
1
2
f(1) = \frac{1}{2}
f
(
1
)
=
2
1
，
f
(
x
+
2
)
=
f
(
x
)
+
f
(
2
)
f(x + 2) = f(x) + f(2)
f
(
x
+
2
)
=
f
(
x
)
+
f
(
2
)
，则
f
(
5
)
=
f(5) =
f
(
5
)
=
（
\quad
）
A.
0
0
0
B.
1
1
1
C.
5
2
\frac{5}{2}
2
5
D.
5
5
5
2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
e
−
x
(
cos
x
+
sin
x
)
f(x) = \mathrm{e}^{-x}\left(\cos x + \sin x\right)
f
(
x
)
=
e
−
x
(
cos
x
+
sin
x
)
. 将满足
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f
′
(
x
)
=
0
的所有正数
x
x
x
从小到大排成数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{
x
n
}
.
(1) 证明数列
{
f
(
x
n
)
}
\{f(x_n)\}
{
f
(
x
n
)}
为等比数列； (2) 记
S
n
S_{n}
S
n
是数列
{
x
n
f
(
x
n
)
}
\{x_n f(x_n)\}
{
x
n
f
(
x
n
)}
的前
n
n
n
项和，求
lim
n
→
∞
S
1
+
S
2
+
⋯
+
S
n
n
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{S_1 + S_2 + \cdots + S_n}{n}
n
→
∞
lim
n
S
1
+
S
2
+
⋯
+
S
n
.
2004 · 全国 · 四卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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