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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 AA，BB 均为集合 U={1,3,5,7,9}U = \{1, 3, 5, 7, 9\} 的子集，且 A∩B={3}A \cap B = \{3\}，∁UB∩A={9}\complement_U B \cap A = \{9\}，则 A=A =（ ）
A.
{1,3}\{1, 3\}
B.
{3,7,9}\{3,7,9\}
C.
{3,5,9}\{3,5,9\}
D.
{3,9}\{3,9\}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 aa，bb 为实数，若复数 1+2ia+ib=1+i\frac{1 + 2\mathrm{i}}{a + \mathrm{i} b} = 1 + \mathrm{i}，则（ ）
A.
a=32,b=12a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}
B.
a=3a = 3，b=1b = 1
C.
a=12a = \frac{1}{2}，b=32b = \frac{3}{2}
D.
a=1a = 1，b=3b = 3

2010 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 23\frac{2}{3} 和 34\frac{3}{4}，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
512\frac{5}{12}
C.
14\frac{1}{4}
D.
16\frac{1}{6}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★★☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 nn，mm，满足 n⩾mn \geqslant m，那么输出的 pp 等于（ ）
A.
Cnm−1\mathrm C_n^{m-1}
B.
Anm−1\mathrm A_n^{m-1}
C.
Cnm\mathrm C_n^m
D.
Anm\mathrm A_n^m

2010 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 ω>0\omega > 0，函数 y=sin⁡(ωx+π3)+2y = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right) + 2 的图象向右平移 4π3\frac{4\pi}{3} 个单位后与原图象重合，则 ω\omega 的最小值是（ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
43\frac{4}{3}
C.
32\frac{3}{2}
D.
33

2010 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是由正数组成的等比数列，SnS_{n} 为其前 nn 项和. 已知 a2a4=1a_{2}a_{4} = 1，S3=7S_{3} = 7，则 S5=S_{5} =（ ）
A.
152\frac{15}{2}
B.
314\frac{31}{4}
C.
334\frac{33}{4}
D.
172\frac{17}{2}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
设抛物线 y2=8xy^{2} = 8x 的焦点为 FF，准线为 ll，PP 为抛物线上一点，PA⊥lPA \perp l，AA 为垂足，如果直线 AFAF 的斜率为 −3-\sqrt{3}，那么 ∣PF∣=|PF| =（ ）
A.
434\sqrt{3}
B.
88
C.
838\sqrt{3}
D.
1616

2010 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
平面上 OO，AA，BB 三点不共线，设 OA→=a\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}，OB→=b\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}，则 △OAB\triangle OAB 的面积等于（ ）
A.
∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}
B.
∣a∣2∣b∣2+(a⋅b)2\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 + (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}
C.
12∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}
D.
12∣a∣2∣b∣2+(a⋅b)2\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 + (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
设双曲线的一个焦点为 FF，虚轴的一个端点为 BB，如果直线 FBFB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
3\sqrt{3}
C.
3+12\frac{\sqrt{3} + 1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt{5} + 1}{2}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
已知点 PP 在曲线 y=4ex+1y = \frac{4}{\mathrm{e}^{x} + 1} 上，α\alpha 为曲线在点 PP 处的切线的倾斜角，则 α\alpha 的取值范围是（ ）
A.
[0,π4)\left[0, \frac{\pi}{4}\right)
B.
[π4,π2)\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)
C.
(π2,3π4]\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right]
D.
[3π4,π)\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

2010 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 a>0a > 0，则 x0x_0 满足关于 xx 的方程 ax=bax = b 的充要条件是（ ）
A.
∃x∈R, 12ax2−bx⩾12ax02−bx0\exists x \in \mathbf{R},\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \geqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
B.
∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩽12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \leqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
C.
∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩾12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \geqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
D.
∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩽12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \leqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 aa 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,6+2)(0, \sqrt{6} + \sqrt{2})
B.
(1,22)(1, 2\sqrt{2})
C.
(6−2,6+2)(\sqrt{6} -\sqrt{2},\sqrt{6} +\sqrt{2})
D.
(0,22)(0,2\sqrt{2})

2010 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+x+x2)(x−1x)6(1 + x + x^2)\left(x - \frac{1}{x}\right)^6 的展开式中的常数项为______.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知 −1<x+y<4-1 < x + y < 4 且 2<x−y<32 < x - y < 3，则 z=2x−3yz = 2x - 3y 的取值范围是______. （答案用区间表示）

2010 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸的小正方形的边长是 11，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=33a_{1} = 33，an+1−an=2na_{n+1} - a_{n} = 2n，则 ann\frac{a_n}{n} 的最小值为______.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为内角 AA，BB，CC 的对边，且 2asin⁡A=(2b+c)sin⁡B+(2c+b)sin⁡C2a \sin A = (2b + c) \sin B + (2c + b) \sin C.
(1) 求 AA 的大小； (2) 求 sin⁡B+sin⁡C\sin B + \sin C 的最大值.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为了比较注射 AA，BB 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200200 只家兔做试验，将这 200200 只家兔随机地分成两组，每组 100100 只，其中一组注射药物 AA，另一组注射药物 BB. 下表 11 和表 22 分别是注射药物 AA 和 BB 后的试验结果. （疱疹面积单位：mm2\mathrm{mm}^2）
表 1：注射药物 AA 后皮肤疱疹面积的频数分布表
表 2：注射药物 BB 后皮肤疱疹面积的频数分布表
(1) 甲、乙是 200200 只家兔中的 22 只，求甲、乙分在不同组的概率； (2) 完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； (3) 完成下面 2×22\times2 列联表，并回答能否有 99.9%99.9\% 的把握认为“注射药物 AA 后的疱疹面积与注射药物 BB 后的疱疹面积有差异”.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，AB⊥ACAB \perp AC，PA=AC=12ABPA = AC = \frac{1}{2} AB，NN 为 ABAB 上一点，AB=4ANAB = 4AN，MM，SS 分别为 PBPB，BCBC 的中点.
(1) 证明：CM⊥SNCM \perp SN； (2) 求 SNSN 与平面 CMNCMN 所成角的大小.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，过点 FF 的直线与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点，直线 ll 的倾斜角为 60∘60^\circ，AF→=2FB→\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}.
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 如果 ∣AB∣=154\left|AB\right| = \frac{15}{4}，求椭圆 CC 的方程.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(a+1)ln⁡x+ax2+1f(x) = (a + 1)\ln x + ax^2 + 1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a<−1a < -1，如果对任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，∣f(x1)−f(x2)∣⩾4∣x1−x2∣|f(x_{1}) - f(x_{2})| \geqslant 4|x_{1} - x_{2}|，求 aa 的取值范围.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 的角平分线 ADAD 的延长线交它的外接圆于点 EE.
(1) 证明：△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=12AD⋅AES = \frac{1}{2} AD \cdot AE，求 ∠BAC\angle BAC 的大小.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知 PP 为半圆
C:{x=cos⁡θ,y=sin⁡θ.C:\begin{cases} x = \cos \theta,\\ y = \sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数，0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi）上的点，点 AA 的坐标为 (1,0)(1,0)，OO 为坐标原点，点 MM 在射线 OPOP 上，线段 OMOM 与 CC 的弧 AP^\widehat{AP} 的长度均为 π3\frac{\pi}{3}.
(1) 以 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 MM 的极坐标； (2) 求直线 AMAM 的参数方程.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2⩾63a^2 + b^2 + c^2 + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)^2 \geqslant 6\sqrt{3}，并确定 aa，bb，cc 为何值时，等号成立.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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