已知函数 $f_1(x) = 3^{|x-p_1|}$，$f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}$（$x \in \mathbf{R}$，$p_1$，$p_2$ 为常数）. 函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x$，.

(1) 求 $f(x) = f_1(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_1$，$p_2$ 表示）； (2) 设 $a$，$b$ 是两个实数，满足 $a < b$，且 $p_1$，$p_2 \in (a, b)$. 若 $f(a) = f(b)$，求证：$f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$.（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$）