如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 $ABCD$ 的两个顶点 $A$，$B$ 及 $CD$ 的中点 $P$ 处，已知 $AB = 20\,\mathrm{km}$，$BC = 10\,\mathrm{km}$. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 $A$，$B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 $AO$，$BO$，$PO$. 记排污管道的总长度为 $y\,\mathrm{km}$.

(1) 按下列要求写出函数关系式：

(i) 设 $\angle BAO = \theta$（$\mathrm{rad}$），将 $y$ 表示为 $\theta$ 的函数； (ii) 设 $OP = x$（$\mathrm{km}$），将 $y$ 表示为 $x$ 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设二次函数 $f(x) = x^2 + 2x + b$（$x \in \mathbf{R}$）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$.

(1) 求实数 $b$ 的取值范围； (2) 求圆 $C$ 的方程； (3) 问圆 $C$ 是否经过定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论.

已知函数 $f_1(x) = 3^{|x-p_1|}$，$f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}$（$x \in \mathbf{R}$，$p_1$，$p_2$ 为常数）. 函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x$，.

(1) 求 $f(x) = f_1(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_1$，$p_2$ 表示）； (2) 设 $a$，$b$ 是两个实数，满足 $a < b$，且 $p_1$，$p_2 \in (a, b)$. 若 $f(a) = f(b)$，求证：$f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$.（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$）