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01解析几何★☆☆☆☆
圆 (x+2)2+y2=5(x + 2)^{2} + y^{2} = 5 关于原点 (0,0)(0,0) 对称的圆的方程为（ ）
A.
(x−2)2+y2=5(x - 2)^{2} + y^{2} = 5
B.
x2+(y−2)2=5x^{2} + (y - 2)^{2} = 5
C.
(x+2)2+(y+2)2=5(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 5
D.
x2+(y+2)2=5x^{2} + (y + 2)^{2} = 5

2005 · 重庆 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
(1+i1−i)2005=\left(\frac{1 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}\right)^{2005} =（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
220052^{2005}
D.
−22005-2^{2005}

2005 · 重庆 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，在 (−∞,0](- \infty, 0] 上是减函数，且 f(2)=0f(2) = 0，则使得 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,2)(-\infty, 2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
D.
(−2,2)(-2, 2)

2005 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 A(3,1)A(3,1)， B(6,1)B(6,1)， C(4,3)C(4,3)，DD 为线段 BCBC 的中点，则向量 AC→\overrightarrow{AC} 与 DA→\overrightarrow{DA} 的夹角为（ ）
A.
π2−arccos⁡45\frac{\pi}{2} - \arccos \frac{4}{5}
B.
arccos⁡45\arccos \frac{4}{5}
C.
arccos⁡(−45)\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)
D.
−arccos⁡(−45)-\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)

2005 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 xx，yy 是正数，则 (x+12y)2+(y+12x)2\left(x + \frac{1}{2y}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2x}\right)^2 的最小值是（ ）
A.
33
B.
72\frac{7}{2}
C.
44
D.
92\frac{9}{2}

2005 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，若 p:sin⁡α<sin⁡(α+β)p: \sin \alpha < \sin (\alpha + \beta)，q:α+β<π2q: \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2005 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
对于不重合的两个平面 α\alpha 与 β\beta，给定下列条件：
① 存在平面 γ\gamma，使得 α\alpha，β\beta 都垂直于 γ\gamma； ② 存在平面 γ\gamma，使得 α\alpha，β\beta 都平行于 γ\gamma； ③ α\alpha 内有不共线的三点到 β\beta 的距离相等； ④ 存在异面直线 ll，mm，使得 l∥αl \parallel \alpha，l∥βl \parallel \beta，m∥αm \parallel \alpha，m∥βm \parallel \beta.
其中，可以判定 α\alpha 与 β\beta 平行的条件有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2005 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x−1x)n\left(2x - \frac{1}{x}\right)^n 展开式中含 1x2\frac{1}{x^2} 项的系数与含 1x4\frac{1}{x^4} 项的系数之比为−5-5，则 nn 等于（ ）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10

2005 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
若动点 (x,y)(x, y) 在曲线 x24+y2b2=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1（b>0b > 0）上变化，则 x2+2yx^2 + 2y 的最大值为（ ）
A.
{b24+4,0<b<4,2b,b⩾4.\begin{cases} \frac{b^2}{4} + 4, & 0 < b < 4,\\ 2b, & b \geqslant 4. \end{cases}
B.
{b24+4,0<b<2,2b,b⩾2.\begin{cases} \frac{b^2}{4} + 4, & 0 < b < 2,\\ 2b, & b \geqslant 2. \end{cases}
C.
b24+4\frac{b^{2}}{4} + 4
D.
2b

2005 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
在体积为 11 的三棱锥 A−BCDA-BCD 侧棱 ABAB，ACAC，ADAD 上分别取点 EE，FF，GG，使 AE:EB=AF:FC=AG:GD=2:1AE:EB = AF:FC = AG:GD = 2:1，记 OO 为三平面 BCGBCG，CDECDE，DBFDBF 的交点，则三棱锥 O−BCDO-BCD 的体积等于（ ）
A.
19\frac{1}{9}
B.
18\frac{1}{8}
C.
17\frac{1}{7}
D.
14\frac{1}{4}

2005 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣x2−x−6<0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x^2 - x - 6 < 0\}，集合 B={x∈R∣∣x−2∣<2}B = \{x \in \mathbf{R} \mid |x - 2| < 2\}，则 A∩B=A \cap B =______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=x3y = x^{3} 在点 (a,a3)(a, a^{3}) （a≠0a \neq 0）处的切线与 xx 轴、直线 x=ax = a 所围成的三角形的面积为 16\frac{1}{6}，则 a=a =______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，且 cos⁡(α+β)=sin⁡(α−β)\cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha - \beta)，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
lim⁡n→∞23n−32n+123n+32n=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{2^{3n} - 3^{2n + 1}}{2^{3n} + 3^{2n}} =______

2005 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某轻轨列车有 44 节车厢，现有 66 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 66 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 00，11，22，33 的概率为______.

2005 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是______.（填写所有正确选项的序号）
① 菱形； ② 有33条边相等的四边形； ③ 梯形； ④ 平行四边形； ⑤ 有一组对角相等的四边形.

2005 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
若函数 f(x)=1+cos⁡2x4sin⁡(π2+x)−asin⁡x2cos⁡(π−x2)f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{4\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} - a\sin \frac{x}{2}\cos \left(\pi - \frac{x}{2}\right) 的最大值为22，试确定常数 aa 的值.

2005 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在一次购物抽奖活动中，假设某 1010 张券中有一等奖券 11 张，可获价值 50 元50\text{ 元} 的奖品；有二等奖券 33 张，每张可获价值 10 元10\text{ 元} 的奖品；其余 66 张没有奖，某顾客从此 1010 张券中任抽 22 张，求：
(1) 该顾客中奖的概率； (2) 该顾客获得的奖品总价值 ξ（元）\xi\text{（元）} 的概率分布列和期望 E(ξ)E(\xi).

2005 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)f(x) = \mathrm{e}^{x}(x^{2} + ax + a + 1) 的极值点的个数.

2005 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB⊥AB \perp 侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C，EE 为棱 CC1CC_{1} 上异于 CC，C1C_{1} 的一点，EA⊥EB1EA \perp EB_{1}，已知 AB=2AB = \sqrt{2}，BB1=2BB_{1} = 2，BC=1BC = 1，∠BCC1=π3\angle BCC_{1} = \frac{\pi}{3}，求：
(1) 异面直线 ABAB 与 EB1EB_{1} 的距离； (2) 二面角 A−EB1−A1A - EB_{1} - A_{1} 的平面角的正切值.

2005 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C1C_1 的方程为 x24+y2=1\frac{x^2}{4} + y^2 = 1，双曲线 C2C_2 的左、右焦点分别为 C1C_1 的左、右顶点，而 C2C_2 的左、右顶点分别是 C1C_1 的左、右焦点.
(1) 求双曲线 C2C_2 的方程. (2) 若直线 l:y=kx+2l: y = kx + \sqrt{2} 与椭圆 C1C_1 及双曲线 C2C_2 都恒有两个不同的交点，且 ll 与 C2C_2 的两个交点 AA 和 BB 满足 OA→⋅OB→<6\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} < 6 （其中 OO 为原点），求 kk 的取值范围.

2005 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1 且 an+1=(1+1n2+n)an+12na_{n + 1} = \left(1 + \frac{1}{n^2 + n}\right)a_n + \frac{1}{2^n} （n⩾1n \geqslant 1）.
(1) 用数学归纳法证明： an⩾2a_{n} \geqslant 2 （n⩾2n \geqslant 2）； (2) 已知不等式 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x) < x 对 x>0x > 0 成立，证明 an<e2a_{n}<\mathrm{e}^{2} （n⩾1n\geqslant1），其中无理数 e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots.

2005 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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