数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$ 且 $a_{n + 1} = \left(1 + \frac{1}{n^2 + n}\right)a_n + \frac{1}{2^n}$ （$n \geqslant 1$）.

(1) 用数学归纳法证明： $a_{n} \geqslant 2$ （$n \geqslant 2$）； (2) 已知不等式 $\ln(1+x) < x$ 对 $x > 0$ 成立，证明 $a_{n}<\mathrm{e}^{2}$ （$n\geqslant1$），其中无理数 $\mathrm{e} = 2.71828\cdots$.