已知函数 $f(x) = 2^x$，等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 2. 若 $f(a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}) = 4$，则 $\log_2[f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot f(a_3) \cdots f(a_{10})] =$______.

观察下列等式： $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$， $\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n$， $\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2}$， $\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n^{2}$， $\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{1}{6} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} + \frac{5}{12} n^{4} - \frac{1}{12} n^{2}$， $\sum_{i=1}^{n} i^{6} = \frac{1}{7} n^{7} + \frac{1}{2} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} - \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{42} n^{2}$， $\cdots \sum_{i=1}^{n} i^{k} = a_{k+1} n^{k+1} + a_{k} n^{k} + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \cdots + a_{1} n + a_{0}$， 可以推测，当 $k \geqslant 2$（$k \in \mathbf{N}^{*}$）时，$a_{k+1} = \frac{1}{k+1}$，$a_{k} = \frac{1}{2}$，$a_{k-1} =$______，$a_{k-2} =$______.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_1 = \lambda$，$a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_n + n - 4$，$b_n = (-1)^n (a_n - 3n + 21)$，其中 $\lambda$ 为实数，$n$ 为正整数.

(1) 对任意实数 $\lambda$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 不是等比数列； (2) 试判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 设 $0 < a < b$，$S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $a < S_{n} < b$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.