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01复数★☆☆☆☆
复数 (1+1i)4\left(1 + \frac{1}{\mathrm{i}}\right)^4 的值是（ ）
A.
4i4\mathrm{i}
B.
−4i-4\mathrm{i}
C.
44
D.
−4-4

2004 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
如果双曲线 x213−y212=1\frac{x^2}{13} - \frac{y^2}{12} = 1 上一点 PP 到右焦点的距离等于 13\sqrt{13}，那么点 PP 到右准线的距离是（ ）
A.
135\frac{13}{5}
B.
1313
C.
55
D.
513\frac{5}{13}

2004 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=log⁡2(x+1)f(x)=\log_{2}(x+1) 的反函数，若 [1+f−1(a)][1+f−1(b)]=8\left[1+f^{-1}(a)\right]\left[1+f^{-1}(b)\right]=8，则 f(a+b)f(a+b) 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
log⁡23\log_{2}3

2004 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
把正方形 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折起，当以 AA，BB，CC，DD 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BDBD 和平面 ABCABC 所成的角的大小为（ ）
A.
9090
B.
6060
C.
4545
D.
3030

2004 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某公司在甲，乙，丙，丁四个地区分别有 150 个150\text{ 个}，120 个120\text{ 个}，180 个180\text{ 个}，150 个150\text{ 个}销售点. 公司为了调查产品销售的情况，需完成下列两项调查：
① 从这 600 个600\text{ 个}销售点中抽取一个容量为 100100 的样本； ② 在丙地区的 20 个20\text{ 个}特大型销售点中抽取 7 个7\text{ 个}，调查其销售收入和售后服务情况.
则完成上述两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A.
分层抽样，系统抽样法
B.
分层抽样，简单随机抽样法
C.
系统抽样法，分层抽样法
D.
简单随机抽样法，分层抽样法

2004 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={x2+bx+c,x⩽0,2,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+bx+c, & x\leqslant 0,\\ 2, & x>0. \end{cases}
若 f(−4)=f(0)f(-4)=f(0)，f(−2)=−2f(-2)=-2，则关于 xx 的方程 f(x)=xf(x)=x 的解的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2004 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A.
(a+b)(1a+1b)⩾4\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geqslant 4
B.
a3+b3⩾2ab2a^3+b^3\geqslant 2ab^2
C.
a2+b2+2⩾2a+2ba^2+b^2+2\geqslant 2a+2b
D.
∣a−b∣⩾a−b\sqrt{|a-b|}\geqslant \sqrt{a}-\sqrt{b}

2004 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=15a_1=\frac{1}{5}，an+an+1=65n+1a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}，则 lim⁡n→∞(a1+a2+⋯+an)=\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=（ ）
A.
25\frac{2}{5}
B.
27\frac{2}{7}
C.
14\frac{1}{4}
D.
425\frac{4}{25}

2004 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 U={(x,y)∣x∈R,y∈R}U=\{(x,y)\mid x\in\mathbf{R}, y\in\mathbf{R}\}，A={(x,y)∣2x−y+m>0}A=\{(x,y)\mid 2x-y+m>0\}，B={(x,y)∣x+y−n⩽0}B=\{(x,y)\mid x+y-n\leqslant 0\}，那么点 P(2,3)∈A∩(∁UB)P(2,3)\in A\cap(\complement_{U}B) 的充要条件是（ ）
A.
m>−1m>-1，n<5n<5
B.
m<−1m<-1，n<5n<5
C.
m>−1m>-1，n>5n>5
D.
m<−1m<-1，n>5n>5

2004 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A.
5656
B.
5252
C.
4848
D.
4040

2004 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成. 2003年某地区农民人均收入为 3150 元3150\text{ 元}（其中工资性收入为 1800 元1800\text{ 元}，其它收入为 1350 元1350\text{ 元}），预计该地区自 2004 年起的 5 年5\text{ 年}内，农民的工资性收入将以每年 6%6\% 的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元160\text{ 元}. 根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于（ ）
A.
4200 元∼4400 元4200\text{ 元}\sim 4400\text{ 元}
B.
4400 元∼4600 元4400\text{ 元}\sim 4600\text{ 元}
C.
4600 元∼4800 元4600\text{ 元}\sim 4800\text{ 元}
D.
4800 元∼5000 元4800\text{ 元}\sim 5000\text{ 元}

2004 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数和偶函数，当 x<0x<0 时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0. 且 g(−3)=0g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0 的解集是（ ）
A.
(−3,0)∪(3,+∞)(-3,0)\cup(3,+\infty)
B.
(−3,0)∪(0,3)(-3,0)\cup(0,3)
C.
(−∞,−3)∪(3,+∞)(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)
D.
(−∞,−3)∪(0,3)(-\infty,-3)\cup(0,3)

2004 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{a}=(\cos\theta,\sin\theta)，向量 b=(3,−1)\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},-1)，则 ∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right| 的最大值是______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 ξ=1\xi=1 表示结果中有正面向上，ξ=0\xi=0 表示结果中没有正面向上，则 E(ξ)=E(\xi)=______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (x3+1xx)n\left(x^{3}+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^n 展开式中的常数项为 84，则 n=n=______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设 FF 是椭圆 x27+y26=1\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1 的右焦点，且椭圆上至少有 2121 个不同的点 PiP_i（i=1i=1，22，33，…\dots），使 ∣FP1∣\left|FP_1\right|，∣FP2∣\left|FP_2\right|，∣FP3∣\left|FP_3\right|，…\ldots 组成公差为 dd 的等差数列，则 dd 的取值范围为______.

2004 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡(π4+2α)⋅sin⁡(π4−2α)=14\sin\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)=\frac{1}{4}，（α∈(π4,π2)\alpha\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)），求 2sin⁡2α+tan⁡α−cot⁡α−12\sin^2\alpha+\tan\alpha-\cot\alpha-1 的值.

2004 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在底面是菱形的四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，∠ABC=60∘\angle ABC=60^{\circ}，PA=AC=aPA=AC=a，PB=PD=2aPB=PD=\sqrt{2}a，点 EE 在 PDPD 上，且 PE:ED=2:1PE:ED=2:1.
(1) 证明：PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD； (2) 求以 ACAC 为棱，EACEAC 与 DACDAC 为面的二面角 θ\theta 的大小； (3) 在棱 PCPC 上是否存在一点 FF，使 BF∥BF\parallel 平面 AECAEC？ 证明你的结论.

2004 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14\frac{1}{4}. 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 112\frac{1}{12}. 甲，丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29\frac{2}{9}.
(1) 分别求甲，乙，丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； (2) 从甲，乙，丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

2004 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2eaxf(x)=x^{2}\mathrm{e}^{ax}，其中 a⩽0a\leqslant 0，e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值.

2004 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，过抛物线 x2=4yx^{2}=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)P(0,m)（m>0m>0）作直线与抛物线交于 AA，BB 两点，点 QQ 是点 PP 关于原点的对称点.
(1) 设点 PP 分有向线段 AB→\overrightarrow{AB} 所成的比为 λ\lambda，证明：QP→⊥(QA→−λQB→)\overrightarrow{QP}\perp(\overrightarrow{QA}-\lambda\overrightarrow{QB})； (2) 设直线 ABAB 的方程是 x−2y+12=0x-2y+12=0，过 AA，BB 两点的圆 CC 与抛物线在点 AA 处有共同的切线，求圆 CC 的方程.

2004 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
如图，直线 l1:y=kx+1−kl_1:y=kx+1-k（k≠0k\neq 0，k≠±12k\neq\pm\frac{1}{2}）与 l2:y=12x+12l_2:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} 相交于点 PP. 直线 l1l_1 与 xx 轴交于点 P1P_1，过点 P1P_1 作 xx 轴的垂线交直线 l2l_2 于点 Q1Q_1，过点 Q1Q_1 作 yy 轴的垂线交直线 l1l_1 于点 P2P_2，过点 P2P_2 作 xx 轴的垂线交直线 l2l_2 于点 Q2Q_2，⋯\cdots，这样一直作下去，可得到一系列点 P1P_1，Q1Q_1，P2P_2，Q2Q_2，⋯\cdots. 点 PnP_n（n=1n=1，22，⋯\cdots）的横坐标构成数列 {xn}\{x_n\}.
(1) 证明：xn+1−1=12k(xn−1)x_{n+1}-1=\frac{1}{2k}(x_n-1)，n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}； (2) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (3) 比较 2∣PPn∣22\left|PP_n\right|^{2} 与 4k2∣PP1∣2+54k^{2}\left|PP_1\right|^{2}+5 的大小.

2004 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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