数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{5}$，$a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=$（ ）

设 $F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1$ 的右焦点，且椭圆上至少有 $21$ 个不同的点 $P_i$（$i=1$，$2$，$3$，$\dots$），使 $\left|FP_1\right|$，$\left|FP_2\right|$，$\left|FP_3\right|$，$\ldots$ 组成公差为 $d$ 的等差数列，则 $d$ 的取值范围为______.

如图，直线 $l_1:y=kx+1-k$（$k\neq 0$，$k\neq\pm\frac{1}{2}$）与 $l_2:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ 相交于点 $P$. 直线 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $P_1$，过点 $P_1$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l_2$ 于点 $Q_1$，过点 $Q_1$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l_1$ 于点 $P_2$，过点 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l_2$ 于点 $Q_2$，$\cdots$，这样一直作下去，可得到一系列点 $P_1$，$Q_1$，$P_2$，$Q_2$，$\cdots$. 点 $P_n$（$n=1$，$2$，$\cdots$）的横坐标构成数列 $\{x_n\}$.

(1) 证明：$x_{n+1}-1=\frac{1}{2k}(x_n-1)$，$n\in\mathbf{N}^{*}$； (2) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式； (3) 比较 $2\left|PP_n\right|^{2}$ 与 $4k^{2}\left|PP_1\right|^{2}+5$ 的大小.