设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则“$x \sin^2 x < 1$”是“$x \sin x < 1$”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 记命题甲为“$x\sin^2x<1$”，记命题乙为“$x\sin x<1$”. 由于 $0<x<\frac{\pi}{2}$，有 $0<\sin x<1$，故 所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.

下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 $g(x)=x\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增，因为 $g'(x)=\sin x+x\cos x>0$. 又 $g(1)=\sin1<1$，而 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1$，所以存在唯一的 $x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ 使 $g(x_0)=1$. 此时 $x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1$. 由连续性，取 $x>x_0$ 且足够接近 $x_0$，仍有 $x\sin^2x<1$，但因 $g$ 严格递增而有 $x\sin x>1$. 因此命题甲不充分.

所以“$x\sin^2x<1$”是“$x\sin x<1$”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}

已知函数 $f(x) = (x - a)^2(x - b)$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$，$a < b$）.

(1) 当 $a = 1$，$b = 2$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程； (2) 设 $x_1$，$x_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，$x_3$ 是 $f(x)$ 的一个零点，且 $x_3 \neq x_1$，$x_3 \neq x_2$. 证明：存在实数 $x_4$，使得 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$ 按某种顺序排列后成等差数列，并求 $x_4$.