已知 $x_0$ 是函数 $f(x) = 2^x + \frac{1}{1 - x}$ 的一个零点. 若 $x_1 \in (1, x_0)$，$x_2 \in (x_0, +\infty)$，则（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 因为 $2^x>0$，当 $x<1$ 时又有 $\frac{1}{1-x}>0$，所以零点只能满足 $x_0>1$. 对 $x>1$，有 令 $g(x)=2^x(x-1)$. 则 $g'(x)=2^x\bigl((x-1)\ln2+1\bigr)>0$，（$x>1$）， 所以 $g$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格递增. 由 $f(x_0)=0$ 得 $g(x_0)=1$. 因此，当 $1<x_1<x_0$ 时 $g(x_1)<1$，从而 $f(x_1)<0$；当 $x_2>x_0$ 时 $g(x_2)>1$，从而 $f(x_2)>0$. 故选 B. \end{solution}

某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元. 七月份销售额比六月份递增 $x\%$，八月份销售额比七月份递增 $x\%$，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 $x$ 的最小值是______.

\begin{answer} $20$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $t=1+\frac{x}{100}$. 则七月份和八月份的销售额分别为 $500t$ 万元和 $500t^2$ 万元，九、十月份销售总额为 $500t+500t^2$ 万元. 因而一月至十月份的销售总额为 由总额至少为 $7000$ 万元，得 因 $t>0$，解得 所以 $1+\frac{x}{100}\geqslant\frac65$，$x\geqslant20$. 当 $x=20$ 时恰好达到下界，故 $x$ 的最小值为 $20$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = (x - a)^2(x - b)$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$，$a < b$）.

(1) 当 $a = 1$，$b = 2$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程； (2) 设 $x_1$，$x_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，$x_3$ 是 $f(x)$ 的一个零点，且 $x_3 \neq x_1$，$x_3 \neq x_2$. 证明：存在实数 $x_4$，使得 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$ 按某种顺序排列后成等差数列，并求 $x_4$.

已知 $m$ 是非零实数，抛物线 $C: y^{2} = 2px$ （$p > 0$） 的焦点 $F$ 在直线 $l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0$ 上.

(1) 若 $m = 2$，求抛物线 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$，$B$ 分别作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $A_{1}$，$B_{1}$，$\triangle AA_{1}F$，$\triangle BB_{1}F$ 的重心分别为 $G$，$H$. 求证：对任意非零实数 $m$，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点在以线段 $GH$ 为直径的圆外.