设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则“$x \sin^2 x < 1$”是“$x \sin x < 1$”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 记命题甲为“$x\sin^2x<1$”，记命题乙为“$x\sin x<1$”. 由于 $0<x<\frac{\pi}{2}$，有 $0<\sin x<1$，故 所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.

下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 $g(x)=x\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增，因为 $g'(x)=\sin x+x\cos x>0$. 又 $g(1)=\sin1<1$，而 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1$，所以存在唯一的 $x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ 使 $g(x_0)=1$. 此时 $x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1$. 由连续性，取 $x>x_0$ 且足够接近 $x_0$，仍有 $x\sin^2x<1$，但因 $g$ 严格递增而有 $x\sin x>1$. 因此命题甲不充分.

所以“$x\sin^2x<1$”是“$x\sin x<1$”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}

函数 $f(x) = \sin^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期是______.

\begin{answer} $\frac{\pi}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 利用恒等式 $\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}$，有 余弦函数的最小正周期为 $2\pi$，所以要求 $4T=2\pi$，得到 $T=\frac{\pi}{2}$. 该周期由余弦函数的最小正周期得到，因而是最小正周期. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 设 $S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积，满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2 - c^2)$.

(1) 求角 $C$ 的大小； (2) 求 $\sin A + \sin B$ 的最大值.