已知平面向量 $\alpha$，$\beta$ 满足 $|\alpha| = 1$，$|\beta| = 2$，$\alpha \perp (\alpha - 2\beta)$，则 $|2\alpha + \beta|$ 的值是______.

\begin{answer} $\sqrt{10}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $\alpha\perp(\alpha-2\beta)$，得 代入 $|\alpha|=1$，可得 $1-2\alpha\cdot\beta=0$，$\alpha\cdot\beta=\frac12$. 于是 长度非负，所以 $|2\alpha+\beta|=\sqrt{10}$. \end{solution}

在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点，$P$，$Q$，$M$，$N$ 分别是线段 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点. 在 $A$，$P$，$M$，$C$ 中任取一点记为 $E$，在 $B$，$Q$，$N$，$D$ 中任取一点记为 $F$. 设 $G$ 为满足向量 $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}$ 的点，则在上述的点 $G$ 组成的集合中的点，落在平行四边形 $ABCD$ 外（不含边界）的概率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 以 $O$ 为原点，设 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$， $\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$. 由于平行四边形的对角线互相平分， $\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}$. 所以 $E$ 对应的系数只能是 $1$，$\frac12$，$-\frac12$，$-1$，即 $\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}$，其中 $s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}$. 同理 $\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}$，其中 $t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}$. 因而

在基底 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 下，平行四边形 $ABCD$ 的四个顶点为 $(1,0)$，$(0,1)$，$(-1,0)$，$(0,-1)$，其内部及边界为 $|s|+|t|\leqslant1$. 当且仅当 $|s|=|t|=\frac12$ 时，$|s|+|t|=1$，对应 $2\times2=4$ 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 $16-4=12$ 个选择满足 $|s|+|t|>1$，所得点在平行四边形外部.

因此所求概率为 \end{solution}