函数 $y=\log_{2}(x-1)$ 的定义域是______.

已知对于任意实数 $x$，函数 $f(x)$ 满足 $f(-x) = f(x)$. 若方程 $f(x) = 0$ 有 2009 个实数解，则这 2009 个实数解之和为______.

以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间 $[0,1]$ 对应的线段，对折后（坐标 $1$ 所对应的点与原点重合）再均匀地拉成$1$个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 $\frac{1}{4}$， $\frac{3}{4}$变成 $\frac{1}{2}$，原来的坐标 $\frac{1}{2}$变成$1$，等等）. 那么原闭区间 $[0,1]$ 上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与$1$重合的点所对应的坐标是______；原闭区间 $[0,1]$ 上（除两个端点外）的点，在第$n$ 次操作完成后（$n\geq 1$），恰好被拉到与$1$重合的点所对应的坐标为______.

已知函数 若 $f(x_{0})>3$，则 $x_{0}$ 的取值范围是（ ）

函数 $y = 1 + \sqrt{1 - x^{2}}$（$-1 \leq x \leq 0$）的反函数图像是（ ）

设函数 $f_{n}(\theta)=\sin^{n}\theta+(-1)^{n}\cos^{n}\theta$，$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$，其中 $n$ 为正整数.

(1) 判断函数 $f_{1}(\theta)$， $f_{3}(\theta)$ 的单调性，并就 $f_{1}(\theta)$ 的情形证明你的结论； (2) 证明： $2f_{6}(\theta)-f_{4}(\theta)=\left(\cos^{4}\theta-\sin^{4}\theta\right)\left(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\right)$； (3) 对于任意给定的正整数 $n$，求函数 $f_{n}(\theta)$ 的最大值和最小值.