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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，集合 B={3,4}B=\{3,4\}，则 A∪B=A\cup B=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x−1∣<3\lvert x-1\rvert<3 的解集为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 2z‾−1=3+6i2\overline{z}-1=3+6\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 z=z=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
若 cos⁡α=13\cos\alpha=\dfrac13，则 sin⁡(α−π2)=\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★★☆☆☆
若关于 xx，yy 的方程组
{x+2y=4,3x+ay=6\begin{cases} x+2y=4,\\ 3x+ay=6 \end{cases}
无解，则实数 a=a=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06数列★☆☆☆☆
若等差数列 {an}\{a_n\} 的前 55 项的和为 2525，则 a1+a5=a_1+a_5=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★☆☆☆☆
若 PP，QQ 是圆 x2+y2−2x+4y+4=0x^2+y^2-2x+4y+4=0 上的动点，则 ∣PQ∣\lvert PQ\rvert 的最大值为______.

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08数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为 an=3na_n=3^n，则 lim⁡n→∞a1+a2+⋯+anan=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{a_n}=______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+2x)n\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^n 的二项展开式的各项系数之和为 729729，则该展开式中常数项的值为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
设椭圆 x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在该椭圆上，则使得 △F1F2P\triangle F_1F_2P 是等腰三角形的点 PP 的个数是______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a6a_6 为 11，22，33，44，55，66 的一个排列，则满足 ∣a1−a2∣+∣a3−a4∣+∣a5−a6∣=3\lvert a_1-a_2\rvert+\lvert a_3-a_4\rvert+\lvert a_5-a_6\rvert=3 的不同排列的个数为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，若函数 f(x)=x+ax+bf(x)=x+\dfrac{a}{x}+b 在区间 (1,2)(1,2) 上有两个不同的零点，则 f(1)f(1) 的取值范围为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2 的单调递增区间是（ ）.
A.
[0,+∞)[0,+\infty)
B.
[1,+∞)[1,+\infty)
C.
(−∞,0](-\infty,0]
D.
(−∞,1](-\infty,1]

2017 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，“a>0a>0”是“1a>0\dfrac1a>0”的（ ）条件.
A.
充分非必要
B.
必要非充分
C.
充分
D.
既非充分也非必要

2017 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）.
A.
三角形
B.
长方形
C.
对角线不相等的菱形
D.
六边形

2017 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
如图，正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的边长为 22，若 PP 为该正八边形边上的动点，则 A1A3→⋅A1P→\overrightarrow{A_1A_3}\cdot \overrightarrow{A_1P} 的取值范围为（ ）.
A.
[0,8+62][0,8+6\sqrt2]
B.
[−22,8+62][-2\sqrt2,8+6\sqrt2]
C.
[−8−62,22][-8-6\sqrt2,2\sqrt2]
D.
[−8−62,8+62][-8-6\sqrt2,8+6\sqrt2]

2017 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 求四棱锥 A1−ABCDA_1-ABCD 的体积； (2) 求异面直线 A1CA_1C 与 DD1DD_1 所成角的大小.

2017 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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18不等式★★★☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=2x+a2x+1f(x)=\dfrac{2^x+a}{2^x+1}.
(1) 求 aa 的值，使得 f(x)f(x) 为奇函数； (2) 若 f(x)<a+22f(x)<\dfrac{a+2}{2} 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立，求 aa 的取值范围.

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19解析几何★★★★☆
某景区欲建造两条圆形观景步道 M1M_1，M2M_2（宽度忽略不计），如图，已知 AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=AD=60AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆 M1M_1 与 ABAB，ADAD 分别相切于点 BB，DD，圆 M2M_2 与 ACAC，ADAD 分别相切于点 CC，DD.
(1) 若 ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，求圆 M1M_1，M2M_2 的半径（结果精确到 0.10.1 米）； (2) 若步道 M1M_1，M2M_2 的每米造价分别为 0.8 千元0.8\text{ 千元} 和 0.9 千元0.9\text{ 千元}，如何设计圆 M1M_1，M2M_2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到 0.1 千元0.1\text{ 千元}）.

2017 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），直线 l:y=kx+ml:y=kx+m（km≠0km\neq0），ll 与 Γ\Gamma 交于 PP，QQ 两点，P′P' 为 PP 关于 yy 轴的对称点，直线 P′QP'Q 与 yy 轴交于点 N(0,n)N(0,n).
(1) 若点 (2,0)(2,0) 是 Γ\Gamma 的一个焦点，求 Γ\Gamma 的渐近线方程； (2) 若 b=1b=1，点 PP 的坐标为 (−1,0)(-1,0)，且 NP′→=32 P′Q→\overrightarrow{NP'}=\dfrac32\,\overrightarrow{P'Q}，求 kk 的值； (3) 若 m=2m=2，求 nn 关于 bb 的表达式.

2017 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=log⁡21+x1−xf(x)=\log_2\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 解方程 f(x)=1f(x)=1； (2) 设 x∈(−1,1)x\in(-1,1)，a∈(1,+∞)a\in(1,+\infty)，证明：ax−1a−x∈(−1,1)\dfrac{ax-1}{a-x}\in(-1,1)，且 f ⁣(ax−1a−x)−f(x)=−f ⁣(1a)f\!\left(\dfrac{ax-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\!\left(\dfrac1a\right)； (3) 设数列 {xn}\{x_n\} 中，x1∈(−1,1)x_1\in(-1,1)，xn+1=(−1)n+13xn−13−xnx_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，求 x1x_1 的取值范围，使得 x3≥xnx_3\ge x_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 成立.

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