已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$，$a_{2} + a_{3} = 6$，则 $a_{7} =$（ ）

(1) 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，$a_{n+1} = 2a_{n} + 2^{n}$. 设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$. 证明： 数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

(1) 双曲线的中心为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_{1}$，$l_{2}$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}$，$l_{2}$ 于 $A$，$B$ 两点. 已知 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$， $\left|\overrightarrow{AB}\right|$， $\left|\overrightarrow{OB}\right|$ 成等差数列，且 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向. 求双曲线的离心率； (2) 设 $AB$ 被双曲线所截得的线段的长为 $4$，求双曲线的方程.