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01三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡α=45\sin \alpha = \frac{4}{5}，并且 α\alpha 是第二象限的角，那么 tan⁡α\tan \alpha 的值等于（ ）
A.
−43-\frac{4}{3}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
34\frac{3}{4}
D.
43\frac{4}{3}

1991 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
焦点在 (−1,0)(-1,0)，顶点在 (1,0)(1,0) 的抛物线方程是（ ）
A.
y2=8(x+1)y^{2} = 8(x + 1)
B.
y2=−8(x+1)y^{2} = -8(x + 1)
C.
y2=8(x−1)y^{2} = 8(x - 1)
D.
y2=−8(x−1)y^{2} = -8(x - 1)

1991 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
点 P(2,5)P(2,5) 关于直线 x+y=0x + y = 0 的对称点的坐标是（ ）
A.
(5,2)(5,2)
B.
(2,−5)(2,-5)
C.
(−5,−2)(-5,-2)
D.
(−2,−5)(-2,-5)

1991 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡4x−sin⁡4xy = \cos^{4} x - \sin^{4} x 的最小正周期是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

1991 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 1212 条直线中，异面直线共有（ ）
A.
1212 对
B.
2424 对
C.
3636 对
D.
4848 对

1991 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+5π2)y = \sin \left(2x + \frac{5\pi}{2}\right) 的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}
B.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
C.
x=π8x = \frac{\pi}{8}
D.
x=5π4x = \frac{5\pi}{4}

1991 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
如果三棱锥 S−ABCS-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 SS 在底面的射影 OO 在 △ABC\triangle ABC 内，那么 OO 是 △ABC\triangle ABC 的（ ）
A.
垂心
B.
重心
C.
外心
D.
内心

1991 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 an>0a_{n}>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{5}+a_{4}a_{6}=25，那么 a3+a5a_{3}+a_{5} 的值等于（ ）
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

1991 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=6x+5x−1y = \frac{6x + 5}{x - 1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠1x \neq 1），那么它的反函数为（ ）
A.
y=6x+5x−1y = \frac{6x + 5}{x - 1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠1x \neq 1）
B.
y=x+5x−6y = \frac{x + 5}{x - 6}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠6x \neq 6）
C.
y=x−16x+5y = \frac{x - 1}{6x + 5}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−56x \neq -\frac{5}{6}）
D.
y=x−6x+5y = \frac{x - 6}{x + 5}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−5x \neq -5）

1991 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 44 台甲型和 55 台乙型电视机中任意取出 33 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 11 台，则不同的取法共有（ ）
A.
140140 种
B.
8484 种
C.
7070 种
D.
3535 种

1991 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★☆☆☆
设甲、乙、丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A.
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.
丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.
丙是甲的充要条件
D.
丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1991 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞[n(1−13)(1−14)(1−15)⋯(1−1n+2)]\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left[n\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right)\cdots \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right)\right] 的值等于（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

1991 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
如果 AC<0AC < 0 且 BC<0BC < 0，那么直线 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 不通过（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果奇函数 f(x)f(x) 在区间 [3,7][3,7] 上是增函数且最小值为 55，那么 f(x)f(x) 在区间 [−7,−3][-7,-3] 上是（ ）
A.
增函数且最小值为 −5-5
B.
增函数且最大值为 −5-5
C.
减函数且最小值为 −5-5
D.
减函数且最大值为 −5-5

1991 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
圆 x2+2x+y2+4y−3=0x^{2} + 2x + y^{2} + 4y - 3 = 0 上到直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 的距离为 2\sqrt{2} 的点共有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

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16解析几何★★☆☆☆
双曲线以直线 x=−1x = -1 和 y=2y = 2 为对称轴，如果它的一个焦点在 yy 轴上，那么它的另一个焦点的坐标是______.

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17三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡x=5−12\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}，则 sin⁡2(x−π4)=\sin 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)=______.

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18指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 lg⁡(x2+2x+2)<1\lg \left(x^{2}+2x+2\right)<1 的解集是______.

1991 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 填空题

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19计数原理与组合数学★★★☆☆
(ax+1)7\left(ax + 1\right)^7 的展开式中，x3x^3 的系数是 x2x^2 的系数与 x4x^4 的系数的等差中项. 若实数 a>1a > 1，那么 a=a=______.

1991 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知顶点 AA 上三条棱长分别是 2\sqrt{2}，3\sqrt{3} 和 22. 如果对角线 AC1AC_{1} 与过点 AA 的相邻三个面所成的角分别是 α\alpha，β\beta，γ\gamma，那么 cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ=\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma=______.

1991 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 填空题

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21三角函数★★★☆☆
求函数 y=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xy = \sin^{2} x + 2\sin x\cos x + 3\cos^{2} x 的最大值.

1991 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^{2} - 3z + 6}{z + 1} 的模和辐角的主值.

1991 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱台 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，已知 AA1⊥AA_{1}\perp 底面 ABCABC，A1A=A1B1=B1C1=aA_{1}A=A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=a，B1B⊥BCB_{1}B\perp BC，且 B1BB_{1}B 和底面 ABCABC 所成的角是 45∘45^{\circ}，求这个棱台的体积.

1991 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，bn=(12)anb_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{a_{n}}，已知 b1+b2+b3=218b_{1}+b_{2}+b_{3}=\frac{21}{8}，b1b2b3=18b_{1}b_{2}b_{3}=\frac{1}{8}，求等差数列的通项 ana_{n}.

1991 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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25指数函数与对数函数★★★★☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，解关于 xx 的不等式：ax4−2x2>(1a)a2a^{x^{4} - 2x^{2}} > \left(\frac{1}{a}\right)^{a^{2}}.

1991 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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