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13
数列
★★☆☆☆
若
lim
n
→
∞
1
n
(
n
+
a
−
n
)
=
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+a}-\sqrt n\right)}=1
n
→
∞
lim
n
(
n
+
a
−
n
)
1
=
1
，则常数
a
=
a=
a
=
______.
2006 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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22
数列
★★★★☆
已知
a
1
=
2
a_1=2
a
1
=
2
，点
(
a
n
,
a
n
+
1
)
(a_n,a_{n+1})
(
a
n
,
a
n
+
1
)
在函数
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
f(x)=x^2+2x
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
的图象上，其中
n
=
1
n=1
n
=
1
，
2
2
2
，
3
3
3
，
⋯
\cdots
⋯
.
(1) 证明数列
{
lg
(
1
+
a
n
)
}
\{\lg(1+a_n)\}
{
l
g
(
1
+
a
n
)}
是等比数列； (2) 设
T
n
=
(
1
+
a
1
)
(
1
+
a
2
)
⋯
(
1
+
a
n
)
T_n=(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)
T
n
=
(
1
+
a
1
)
(
1
+
a
2
)
⋯
(
1
+
a
n
)
，求
T
n
T_n
T
n
及数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的通项； (3) 记
b
n
=
1
a
n
+
1
a
n
+
2
b_n=\dfrac1{a_n}+\dfrac1{a_n+2}
b
n
=
a
n
1
+
a
n
+
2
1
，求数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_n
S
n
，并证明
S
n
+
2
3
T
n
−
1
=
1
S_n+\dfrac{2}{3T_n-1}=1
S
n
+
3
T
n
−
1
2
=
1
.
2006 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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