函数 $y=x^2$（$x>0$）的图象在点 $\left(a_k,a_k^2\right)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $a_{k+1}$，其中 $k\in\mathbf{N}^*$. 若 $a_1=16$，则 $a_1+a_3+a_5$ 的值是______.

将边长为 $1 \mathrm{~m}$ 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 $s=\dfrac{\left(\text{梯形的周长}\right)^2}{\text{梯形的面积}}$，则 $s$ 的最小值是______.

某兴趣小组测量电视塔 $AE$ 的高度 $H$（单位：$\mathrm{m}$）. 如示意图，垂直放置的标杆 $BC$ 的高度 $h=4 \mathrm{~m}$，仰角 $\angle ABE=\alpha$，$\angle ADE=\beta$.

(1) 该小组已经测得一组 $\alpha$，$\beta$ 的值，算出了 $\tan\alpha=1.24$，$\tan\beta=1.20$，请据此算出 $H$ 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$（单位：$\mathrm{m}$），使 $\alpha$ 与 $\beta$ 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 $125 \mathrm{~m}$，试问 $d$ 为多少时，$\alpha-\beta$ 最大.

设 $f(x)$ 是定义在区间 $(1,+\infty)$ 上的函数，其导函数为 $f'(x)$. 如果存在实数 $a$ 和函数 $h(x)$，其中 $h(x)$ 对任意的 $x\in(1,+\infty)$ 都有 $h(x)>0$，使得 $f'(x)=h(x)\left(x^2-ax+1\right)$，则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P(a)$.

(1) 设函数 $f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}$（$x>1$），其中 $b$ 为实数.

(i) 求证：函数 $f(x)$ 具有性质 $P(b)$； (ii) 求函数 $f(x)$ 的单调区间. (2) 已知函数 $g(x)$ 具有性质 $P(2)$，给定 $x_1$，$x_2\in(1,+\infty)$，$x_1<x_2$，设 $m$ 为实数，$\alpha=mx_1+(1-m)x_2$，$\beta=(1-m)x_1+mx_2$，且 $\alpha>1$，$\beta>1$，若 $|g(\alpha)-g(\beta)|<|g(x_1)-g(x_2)|$，求 $m$ 的取值范围.