定义在区间 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上的函数 $y=6\cos x$ 的图象与 $y=5\tan x$ 的图象交于点 $P$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $P_1$，直线 $PP_1$ 与 $y=\sin x$ 的图象交于点 $P_2$，则线段 $P_1P_2$ 的长为______.

在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$，则 $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}$ 的值是______.

某兴趣小组测量电视塔 $AE$ 的高度 $H$（单位：$\mathrm{m}$）. 如示意图，垂直放置的标杆 $BC$ 的高度 $h=4 \mathrm{~m}$，仰角 $\angle ABE=\alpha$，$\angle ADE=\beta$.

(1) 该小组已经测得一组 $\alpha$，$\beta$ 的值，算出了 $\tan\alpha=1.24$，$\tan\beta=1.20$，请据此算出 $H$ 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$（单位：$\mathrm{m}$），使 $\alpha$ 与 $\beta$ 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 $125 \mathrm{~m}$，试问 $d$ 为多少时，$\alpha-\beta$ 最大.

已知 $\triangle ABC$ 的三边长都是有理数.

(1) 求证：$\cos A$ 是有理数； (2) 求证：对任意正整数 $n$，$\cos nA$ 是有理数.