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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 I={x∣∣x∣<3,x∈Z}I = \{x \mid |x| < 3, x \in \mathbf{Z}\}，A={1,2}A = \{1, 2\}，B={−2,−1,2}B = \{-2, -1, 2\}，则 A∪(∁IB)=A \cup (\complement_{I} B) =（ ）
A.
{1}\{1\}
B.
{1,2}\{1, 2\}
C.
{2}\{2\}
D.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}

2005 · 江西 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
已知 tan⁡α2=3\tan\dfrac{\alpha}{2}=3，则 cos⁡α=\cos\alpha=（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
−45-\frac{4}{5}
C.
415\frac{4}{15}
D.
−35-\frac{3}{5}

2005 · 江西 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★★☆☆
(x+x3)12(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})^{12} 的展开式中，含 xx 的正整数次幂的项共有（ ）
A.
44 项
B.
33 项
C.
22 项
D.
11 项

2005 · 江西 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1log⁡2(−x2+4x−3)f(x)=\dfrac{1}{\log_{2}(-x^{2}+4x-3)} 的定义域为（ ）
A.
(1,2)∪(2,3)(1,2)\cup(2,3)
B.
(−∞,1)∪(3,+∞)\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,+\infty\right)
C.
(1,3)(1,3)
D.
[1,3][1,3]

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05三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡3x+∣sin⁡3x∣f(x)=\sin3x+|\sin3x|，则 f(x)f(x) 为（ ）
A.
周期函数，最小正周期为 π3\frac{\pi}{3}
B.
周期函数，最小正周期为 2π3\frac{2\pi}{3}
C.
周期函数，最小正周期为 2π2\pi
D.
非周期函数

2005 · 江西 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a}=(1,2)，b=(−2,−4)\boldsymbol{b}=(-2,-4)，∣c∣=5|\boldsymbol{c}|=\sqrt5，若 (a+b)⋅c=52(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\dfrac52，则 a\boldsymbol{a} 与 c\boldsymbol{c} 的夹角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
120∘120^{\circ}
D.
150∘150^{\circ}

2005 · 江西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A.
7070
B.
140140
C.
280280
D.
840840

2005 · 江西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，设命题 p:asin⁡B=bsin⁡C=csin⁡Ap:\dfrac{a}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin C}=\dfrac{c}{\sin A}，命题 q:△ABCq:\triangle ABC 是等边三角形，那么命题 pp 是命题 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2005 · 江西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
矩形 ABCDABCD 中，AB=4AB=4，BC=3BC=3，沿 ACAC 将矩形 ABCDABCD 折成一个直二面角 B−AC−DB-AC-D，则四面体 ABCDABCD 的外接球的体积为（ ）
A.
12512π\frac{125}{12}\pi
B.
1259π\frac{125}{9}\pi
C.
1256π\frac{125}{6}\pi
D.
1253π\frac{125}{3}\pi

2005 · 江西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
已知实数 aa，bb 满足等式 (12)a=(13)b\left(\dfrac12\right)^a=\left(\dfrac13\right)^b，下列五个关系式：
① 0<b<a0<b<a； ② a<b<0a<b<0； ③ 0<a<b0<a<b； ④ b<a<0b<a<0； ⑤ a=ba=b.
其中不可能成立的关系式（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2005 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
在 △OAB\triangle OAB 中，OO 为坐标原点，A(1,cos⁡θ)A(1,\cos\theta)，B(sin⁡θ,1)B(\sin\theta,1)，θ∈(0,π2]\theta\in\left(0,\dfrac\pi2\right]，则 △OAB\triangle OAB 的面积达到最大值时，θ=\theta=（ ）
A.
π6\frac\pi6
B.
π4\frac\pi4
C.
π3\frac\pi3
D.
π2\frac\pi2

2005 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12概率与统计★★★☆☆
为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图. 由于不慎将部分数据丢失，但知道前 44 组的频数成等比数列，后 66 组的频数成等差数列，设最大频率为 aa，视力在 4.64.6 到 5.05.0 之间的学生数为 bb，则 aa，bb 的值分别为（ ）
A.
0.270.27，7878
B.
0.270.27，8383
C.
2.72.7，7878
D.
2.72.7，8383

2005 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(x+x2+2a2)f(x)=\log_a\left(x+\sqrt{x^2+2a^2}\right) 是奇函数，则 a=a=______.

2005 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant0 \end{cases}
， 则 yx\dfrac yx 的最大值是______.

2005 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA=PB=PC=BCPA=PB=PC=BC，且 ∠BAC=π2\angle BAC=\dfrac\pi2，则 PAPA 与底面 ABCABC 所成角为______.

2005 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
① 设 AA、BB 为两个定点，kk 为非零常数，∣PA→∣−∣PB→∣=k\left|\overrightarrow{PA}\right|-\left|\overrightarrow{PB}\right|=k，则动点 PP 的轨迹为双曲线； ② 设圆 CC 上一定点 AA，作圆的动点弦 ABAB，OO 为坐标原点，若 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)，则动点 PP 的轨迹为椭圆； ③ 方程 2x2−5x+2=02x^2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④ 双曲线 x225−y29=1\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{9}=1 与椭圆 x235+y2=1\dfrac{x^2}{35}+y^2=1 有相同的焦点.
其中真命题的序号为______.（写出所有真命题的序号）

2005 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2ax+bf(x)=\dfrac{x^2}{ax+b}（aa、bb 为常数），且方程 f(x)−x+12=0f(x)-x+12=0 有两个实根 x1=3x_1=3、x2=4x_2=4.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设 k>1k>1，解关于 xx 的不等式：f(x)<(k+1)x−k2−xf(x)<\dfrac{(k+1)x-k}{2-x}.

2005 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(2cos⁡x2,tan⁡(x2+π4))\boldsymbol{a}=\left(2\cos\dfrac x2,\tan\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right)\right)，b=(2sin⁡(x2+π4),tan⁡(x2−π4))\boldsymbol{b}=\left(\sqrt2\sin\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right),\tan\left(\dfrac x2-\dfrac\pi4\right)\right)， 令 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. 求函数 f(x)f(x) 的最大值，最小正周期，并写出 f(x)f(x) 在 [0,π][0,\pi] 上的单调区间.

2005 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止. 求掷硬币的次数不大于 77 次时游戏终止的概率.

2005 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AD=AA1=1AD=AA_1=1，AB=2AB=2，点 EE 在棱 ABAB 上移动.
(1) 证明：D1E⊥A1DD_1E\perp A_1D； (2) 当 EE 为 ABAB 的中点时，求点 EE 到面 ACD1ACD_1 的距离； (3) AEAE 等于何值时，二面角 D1−EC−DD_1-EC-D 的大小为 π4\dfrac\pi4.

2005 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，MM 是抛物线 y2=xy^2=x 上的一点，动弦 MEME、MFMF 分别交 xx 轴于 AA、BB 两点，且 MA=MBMA=MB.
(1) 若 MM 为定点，证明：直线 EFEF 的斜率为定值； (2) 若 MM 为动点，且 ∠EMF=90∘\angle EMF=90^{\circ}，求 △EMF\triangle EMF 的重心 GG 的轨迹方程.

2005 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn−Sn−2=3(−12)n−1S_n-S_{n-2}=3\left(-\dfrac12\right)^{n-1}（n⩾3n\geqslant3），且 S1=1S_1=1、S2=−32S_2=-\dfrac32. 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2005 · 江西 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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